https://blog.csdn.net/tonyshengtan/article/details/43698711
数学形式的标准Sobel为：
此模板为最早提出的Sobel模板，由于模板的对称性，我们可以将它分解一下，并根据卷积的运算性质，可以得到：
也就是说，图像对Sobel 的响应等于，对模板分解后的小模板分别卷积，而观察小模板我们可以发现，其中[1,0,-1]或其转置为差分，也就是用于寻找边缘候选点的，而另一个[1,2,1]是一个标准平滑算子，这也就是很多书上说，Sobel具有平滑和微分的功效，原因就是这里了，也就是说，算子先将图像横向或纵向平滑，然后再纵向或横向差分，得到的结果是平滑后的差分结果。
或者，也可根据以下方式得到分解到的两个模板，其中星号表示卷积：
另一种得到模板的方法是通过帕斯卡三角，得到，并且帕斯卡三角的奇数行是最有高斯模板的整数系数的逼近，也就是说，高斯模板可以通过帕斯卡三角查询到其整数系数的近似，来观察帕斯卡三角：
其中标注的就可以用来生成扩展的Sobel算子，其中较常用的有5x5和7x7的模板。
用两个小模板分别卷积的另一个好处是减少计算量，对于使用大小为nxn的模板，卷积计算量为O（n*n*width*height）而分开成小模板卷积计算量是O（2*n*width*height）也就是O（n*width*height）减少了一项，当n相对较大的时候，计算量明显减少。
帕斯卡三角的计算是通过组合公式给出，具体不在这里描述，所以Sobel算子的模板计算方法我们就有了大概的了解。
opencv文档中给出了关于sobel算子的下面信息：
和上面描述的方法类似，更直观，可以用来理解sobel的模板结构，不同的差分方向带来的问题就是边缘方向的确定，由于算子属于一阶微分，也就是梯度算子之一，所以梯度方向信息也显得很重要，比如后面要说的canny就是用到了梯度方向的信息，所以，在确定方向时要注意算子的差分方向。
对于阶梯型边缘，计算过程及结果如下，红色为模板中心：
可以看到，相比于Robert算子，Sobel得到的边界候选位置相对较宽，而且包括全部的内边界和外边界。并且差分被放大了，也就是说，用Sobel算子处理后的图片有可能超过原图像灰度级别，对于这个问题，处理方法是将平滑分算子（分解后的平滑部分，例如【1，2，1】）归一化，得到的差值仍在原始灰度级范围内。