Kurskal算法生成最小生成树MST

1.解析

while循环其实不是只循环V-1次，因为如果找出的边能够形成环的话，这条边并不是我们需要的边，所以本次循环无效。while循环中其实包含了找出最小的功能，这个其实可以通过单独的一个函数来实现。就是按边长度升序来排列。

kruskal算法其实是一个找边的算法，对于一V个顶点的图，必定由V-1条边构成一个最小生成树，那么按边的权值遍历图每一条边。判断如果添加这条选出的当前权最小的边，图中会不会生成一个环，如果生成环，则当前找到的这条边无效，继续找下一条权值最小边。

每找出一条边，相当于图中合并了两个连通部件（初始化是一个顶点算一个连通部件），因此找到V-1条边就相当于是将原来分离的V个连通部件合并成一个更大的连通部件。

在两个连通部件之间添加一条边，会组成一个更大的连通部件，并且不存在环。

2.算法实例

#include<iostream> #include<malloc.h> #include<queue> #include <algorithm> #include<stdlib.h> #include<functional> using namespace std; #define maxNum 100 //定义邻接举证的最大定点数 #define maxWeight 1000000 //边权最大值 int visited[maxNum][maxNum];//用来表示边visited[i][j]是否被访问过，初始化都是0int set[maxNum];//顶点信息 typedef struct { int id; int dist; }node; //图的邻接矩阵表示结构 typedef struct { //char v[maxNum];//图的顶点信息 node v[maxNum]; int e[maxNum][maxNum];//图的顶点信息 int vNum;//顶点个数 int eNum;//边的个数 }graph; //函数声明 void createGraph(graph *g);//创建图g void kruskal(graph *g);void createGraph(graph *g)//创建图g { cout<<"正在创建无向图..."<<endl; cout<<"请输入顶点个数vNum:"; cin>>g->vNum; //cout<<"请输入边的个数eNum:"; // cin>>g->eNum; int i,j; //构造邻接矩阵，顶点到自身的距离是无穷大的。 cout<<"输入邻接矩阵权值："<<endl; for(i=1;i<=g->vNum;i++) for(j=1;j<=g->vNum;j++) { cin>>g->e[i][j]; if(g->e[i][j]==0) { g->e[i][j]=maxWeight; } } } void kruskal(graph *g){cout<<"最小生成树是："<<endl;int k=1;int i,j;int a=1,b=1;int min=g->e[a][b];//初始化visited[][]for(i=1;i<=g->vNum;i++)for(j=1;j<=g->vNum;j++){visited[i][j]=0;//表示边i-j没有被访问过}//初始化set[]for(i=1;i<=g->vNum;i++){set[i]=i;}while(k<=g->vNum-1)//V-1次合并连通部件操作：union。v-1=e，就是查找出所有满足最小生成树的边{//找出最小边i->jfor(i=1;i<=g->vNum;i++)for(j=1;j<=g->vNum;j++){if(g->e[i][j]<min&&visited[i][j]==0){min=g->e[i][j];a=i;b=j;}}visited[a][b]=1;visited[b][a]=1;min=maxWeight;if(set[a]!=set[b])//a b不在一个连通分量中，则合并{k++;//表中找到了一条合适的边cout<<a<<"->"<<b<<endl;//合并集合。将连同部件b合并到连同部件a中去。int temp_set=set[b];for(i=1;i<=g->vNum;i++){if(set[i]==temp_set)set[i]=set[a];//将b合并到a中去。cout<<set[i]<<" ";}cout<<endl;}}} int main() { graph *g; g=(graph*)malloc(sizeof(graph)); createGraph(g); kruskal(g);int i;for(i=1;i<=g->vNum;i++)cout<<set[i]<<" ";cout<<endl; system("pause"); return 0; } /* 正在创建无向图...请输入顶点个数vNum:6输入邻接矩阵权值：0 5 6 4 0 05 0 1 2 0 06 1 0 2 5 34 2 2 0 0 40 0 5 0 0 40 0 3 4 4 0最小生成树是：2->31 2 2 4 5 62->41 2 2 2 5 63->61 2 2 2 5 21->41 1 1 1 5 15->65 5 5 5 5 55 5 5 5 5 5请按任意键继续. . .*/

3.单独提取合并集合的方法

为了是程序更加清晰，将合并集合的方法单独提取出来。代码实例如下：

void union_set(graph *g,int a,int b){int i;//合并集合。将连同部件b合并到连同部件a中去。int temp_set=set[b];for(i=1;i<=g->vNum;i++){if(set[i]==temp_set)set[i]=set[a];//将b合并到a中去。cout<<set[i]<<" ";}cout<<endl;}

修改以后原来的程序只稍作修改即可，在void kruskal(graph *g)中作如下修改：

if(set[a]!=set[b])//a b不在一个连通分量中，则合并{k++;//表中找到了一条合适的边cout<<a<<"->"<<b<<endl;union_set(g,a,b);//合并集合。}