Bellman-Ford算法与另一个非常著名的Dijkstra算法一样，用于求解单源点最短路径问题。Bellman-ford算法除了可求解边权均非负的问题外，还可以解决存在负权边的问题（意义是什么，好好思考），而Dijkstra算法只能处理边权非负的问题，因此 Bellman-Ford算法的适用面要广泛一些。但是，原始的Bellman-Ford算法时间复杂度为 O（VE）,比Dijkstra算法的时间复杂度高，所以常常被众多的大学算法教科书所忽略，就连经典的《算法导论》也只介绍了基本的Bellman-Ford算法，在国内常见的基本信息学奥赛教材中也均未提及，因此该算法的知名度与被掌握度都不如Dijkstra算法。事实上，有多种形式的Bellman-Ford算法的优化实现。这些优化实现在时间效率上得到相当提升，例如近一两年被热捧的SPFA（Shortest-Path Faster Algoithm 更快的最短路径算法）算法的时间效率甚至由于Dijkstra算法，因此成为信息学奥赛选手经常讨论的话题。然而，限于资料匮乏，有关Bellman-Ford算法的诸多问题常常困扰奥赛选手。如：该算法值得掌握么？怎样用编程语言具体实现？有哪些优化？与SPFA算法有关系么？本文试图对Bellman-Ford算法做一个比较全面的介绍。
Bellman-Ford算法思想
Bellman-Ford算法能在更普遍的情况下（存在负权边）解决单源点最短路径问题。对于给定的带权（有向或无向）图 G=（V,E），其源点为s，加权函数 w是 边集 E 的映射。对图G运行Bellman-Ford算法的结果是一个布尔值，表明图中是否存在着一个从源点s可达的负权回路。若不存在这样的回路，算法将给出从源点s到 图G的任意顶点v的最短路径d[v]。
Bellman-Ford算法流程分为三个阶段：
（1） 初始化：将除源点外的所有顶点的最短距离估计值 d[v] ←+∞, d[s] ←0;
（2） 迭代求解：反复对边集E中的每条边进行松弛操作，使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离；（运行|v|-1次）
（3） 检验负权回路：判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点，则算法返回false，表明问题无解；否则算法返回true，并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在 d[v]中。
算法描述如下：
下面给出描述性证明：
首先指出，图的任意一条最短路径既不能包含负权回路，也不会包含正权回路，因此它最多包含|v|-1条边。
其次，从源点s可达的所有顶点如果 存在最短路径，则这些最短路径构成一个以s为根的最短路径树。Bellman-Ford算法的迭代松弛操作，实际上就是按顶点距离s的层次，逐层生成这棵最短路径树的过程。
在对每条边进行1遍松弛的时候，生成了从s出发，层次至多为1的那些树枝。也就是说，找到了与s至多有1条边相联的那些顶点的最短路径；对每条边进行第2遍松弛的时候，生成了第2层次的树枝，就是说找到了经过2条边相连的那些顶点的最短路径……。因为最短路径最多只包含|v|-1 条边，所以，只需要循环|v|-1 次。
每实施一次松弛操作，最短路径树上就会有一层顶点达到其最短距离，此后这层顶点的最短距离值就会一直保持不变，不再受后续松弛操作的影响。（但是，每次还要判断松弛，这里浪费了大量的时间，怎么优化？单纯的优化是否可行？）
如果没有负权回路，由于最短路径树的高度最多只能是|v|-1，所以最多经过|v|-1遍松弛操作后，所有从s可达的顶点必将求出最短距离。如果 d[v]仍保持 +∞，则表明从s到v不可达。
如果有负权回路，那么第 |v|-1 遍松弛操作仍然会成功，这时，负权回路上的顶点不会收敛。
Bellman-Ford的队列实现SPFA
算法大致流程是用一个队列来进行维护。初始时将源加入队列。每次从队列中取出一个元素，并对所有与他相邻的点进行松弛，若某个相邻的点松弛成功，则将其入队。直到队列为空时算法结束。
这个算法，简单的说就是队列优化的bellman-ford,利用了每个点不会更新次数太多的特点发明的此算法
SPFA——Shortest Path Faster Algorithm，它可以在O(kE)的时间复杂度内求出源点到其他所有点的最短路径，可以处理负边。SPFA的实现甚至比Dijkstra或者Bellman_Ford还要简单：
设Dist代表S到I点的当前最短距离，Fa代表S到I的当前最短路径中I点之前的一个点的编号。开始时Dist全部为+∞，只有Dist[S]=0，Fa全部为0。
维护一个队列，里面存放所有需要进行迭代的点。初始时队列中只有一个点S。用一个布尔数组记录每个点是否处在队列中。
每次迭代，取出队头的点v，依次枚举从v出发的边v->u，设边的长度为len，判断Dist[v]+len是否小于Dist[u]，若小于则改进Dist[u]，将Fa[u]记为v，并且由于S到u的最短距离变小了，有可能u可以改进其它的点，所以若u不在队列中，就将它放入队尾。这样一直迭代下去直到队列变空，也就是S到所有的最短距离都确定下来，结束算法。若一个点入队次数超过n，则有负权环。
SPFA 在形式上和宽度优先搜索非常类似，不同的是宽度优先搜索中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是一个点改进过其它的点之后，过了一段时间可能本身被改进，于是再次用来改进其它的点，这样反复迭代下去。设一个点用来作为迭代点对其它点进行改进的平均次数为k，有办法证明对于通常的情况，k在2左右
对于不存在负权回路的图来说，上述算法是一定会结束的。因为算法在反复优化各个最短路径长度，总有一个时刻会进入“无法再优化”的局面，此时一旦队列读空，算法就结束了。然而，如果图中存在一条权值为负的回路，就糟糕了，算法会在其上反复运行，通过“绕圈”来无休止地试图减小某些相关点的最短路径值。假如我们不能保证图中没有负权回路，一种“结束条件”是必要的。这种结束条件是什么呢？
思考Bellman-Ford算法，它是如何结束的？显然，最朴素的Bellman-Ford算法不管循环过程中发生了什么，一概要循环|V|-1遍才肯结束。凭直觉我们可以感到，SPFA算法“更聪明一些”，就是说我们可以猜测，假如在SPFA中，一个点进入队列——或者说一个点被处理——超过了|V|次，那么就可以断定图中存在负权回路了。