Bellman-Ford算法以及优化(SPFA)

时间:2021-05-16 09:45:20

      Bellman-Ford算法与另一个非常著名的Dijkstra算法一样,用于求解单源点最短路径问题。Bellman-ford算法除了可求解边权均非负的问题外,还可以解决存在负权边的问题(意义是什么,好好思考),而Dijkstra算法只能处理边权非负的问题,因此 Bellman-Ford算法的适用面要广泛一些。但是,原始的Bellman-Ford算法时间复杂度为 OVE,Dijkstra算法的时间复杂度高,所以常常被众多的大学算法教科书所忽略,就连经典的《算法导论》也只介绍了基本的Bellman-Ford算法,在国内常见的基本信息学奥赛教材中也均未提及,因此该算法的知名度与被掌握度都不如Dijkstra算法。事实上,有多种形式的Bellman-Ford算法的优化实现。这些优化实现在时间效率上得到相当提升,例如近一两年被热捧的SPFAShortest-Path Faster Algoithm 更快的最短路径算法)算法的时间效率甚至由于Dijkstra算法,因此成为信息学奥赛选手经常讨论的话题。然而,限于资料匮乏,有关Bellman-Ford算法的诸多问题常常困扰奥赛选手。如:该算法值得掌握么?怎样用编程语言具体实现?有哪些优化?与SPFA算法有关系么?本文试图对Bellman-Ford算法做一个比较全面的介绍。

Bellman-Ford算法思想

Bellman-Ford算法能在更普遍的情况下(存在负权边)解决单源点最短路径问题。对于给定的带权(有向或无向)图 G=V,E),其源点为s,加权函数 w 边集 E 的映射。对图G运行Bellman-Ford算法的结果是一个布尔值,表明图中是否存在着一个从源点s可达的负权回路。若不存在这样的回路,算法将给出从源点s G的任意顶点v的最短路径d[v]

Bellman-Ford算法流程分为三个阶段:

1    初始化:将除源点外的所有顶点的最短距离估计值 d[v] +∞, d[s] 0;

2    迭代求解:反复对边集E中的每条边进行松弛操作,使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离;(运行|v|-1次)

3    检验负权回路:判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点,则算法返回false,表明问题无解;否则算法返回true,并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在 d[v]中。

算法描述如下:

 

下面给出描述性证明:

       首先指出,图的任意一条最短路径既不能包含负权回路,也不会包含正权回路,因此它最多包含|v|-1条边。

       其次,从源点s可达的所有顶点如果 存在最短路径,则这些最短路径构成一个以s为根的最短路径树。Bellman-Ford算法的迭代松弛操作,实际上就是按顶点距离s的层次,逐层生成这棵最短路径树的过程。

在对每条边进行1遍松弛的时候,生成了从s出发,层次至多为1的那些树枝。也就是说,找到了与s至多有1条边相联的那些顶点的最短路径;对每条边进行第2遍松弛的时候,生成了第2层次的树枝,就是说找到了经过2条边相连的那些顶点的最短路径……。因为最短路径最多只包含|v|-1 条边,所以,只需要循环|v|-1 次。

每实施一次松弛操作,最短路径树上就会有一层顶点达到其最短距离,此后这层顶点的最短距离值就会一直保持不变,不再受后续松弛操作的影响。(但是,每次还要判断松弛,这里浪费了大量的时间,怎么优化?单纯的优化是否可行?)

如果没有负权回路,由于最短路径树的高度最多只能是|v|-1,所以最多经过|v|-1遍松弛操作后,所有从s可达的顶点必将求出最短距离。如果 d[v]仍保持 +∞,则表明从sv不可达。

如果有负权回路,那么第 |v|-1 遍松弛操作仍然会成功,这时,负权回路上的顶点不会收敛。

  

Bellman-Ford的队列实现SPFA

     算法大致流程是用一个队列来进行维护。初始时将源加入队列。每次从队列中取出一个元素,并对所有与他相邻的点进行松弛,若某个相邻的点松弛成功,则将其入队。直到队列为空时算法结束。

这个算法,简单的说就是队列优化的bellman-ford,利用了每个点不会更新次数太多的特点发明的此算法

SPFA——Shortest Path Faster Algorithm,它可以在O(kE)的时间复杂度内求出源点到其他所有点的最短路径,可以处理负边。SPFA的实现甚至比Dijkstra或者Bellman_Ford还要简单:

Dist代表SI点的当前最短距离,Fa代表SI的当前最短路径中I点之前的一个点的编号。开始时Dist全部为+∞,只有Dist[S]=0Fa全部为0

维护一个队列,里面存放所有需要进行迭代的点。初始时队列中只有一个点S。用一个布尔数组记录每个点是否处在队列中。

每次迭代,取出队头的点v,依次枚举从v出发的边v->u,设边的长度为len,判断Dist[v]+len是否小于Dist[u],若小于则改进Dist[u],将Fa[u]记为v,并且由于Su的最短距离变小了,有可能u可以改进其它的点,所以若u不在队列中,就将它放入队尾。这样一直迭代下去直到队列变空,也就是S到所有的最短距离都确定下来,结束算法。若一个点入队次数超过n,则有负权环。

SPFA 在形式上和宽度优先搜索非常类似,不同的是宽度优先搜索中一个点出了队列就不可能重新进入队列,但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列,也就是一个点改进过其它的点之后,过了一段时间可能本身被改进,于是再次用来改进其它的点,这样反复迭代下去。设一个点用来作为迭代点对其它点进行改进的平均次数为k,有办法证明对于通常的情况,k2左右

    对于不存在负权回路的图来说,上述算法是一定会结束的。因为算法在反复优化各个最短路径长度,总有一个时刻会进入无法再优化的局面,此时一旦队列读空,算法就结束了。然而,如果图中存在一条权值为负的回路,就糟糕了,算法会在其上反复运行,通过绕圈来无休止地试图减小某些相关点的最短路径值。假如我们不能保证图中没有负权回路,一种结束条件是必要的。这种结束条件是什么呢?
    思考Bellman-Ford算法,它是如何结束的?显然,最朴素的Bellman-Ford算法不管循环过程中发生了什么,一概要循环|V|-1遍才肯结束。凭直觉我们可以感到,SPFA算法更聪明一些,就是说我们可以猜测,假如在SPFA中,一个点进入队列——或者说一个点被处理——超过了|V|次,那么就可以断定图中存在负权回路了。