决策树（Decision tree）
决策树是以实例为基础的归纳学习算法。
它从一组无次序、无规则的元组中推理出决策树表示形式的分类规则。它采用自顶向下的递归方式，在决策树的内部结点进行属性值的比较，并根据不同的属性值从
该结点向下分支，叶结点是要学习划分的类。从根到叶结点的一条路径就对应着一条合取规则，整个决策树就对应着一组析取表达式规则。1986年
Quinlan提出了著名的ID3算法。在ID3算法的基础上，1993年Quinlan又提出了C4.5算法。为了适应处理大规模数据集的需要，后来又
提出了若干改进的算法，其中SLIQ(super-vised
learning in quest)和SPRINT (scalable parallelizableinduction of
decision trees)是比较有代表性的两个算法。
(1)
ID3算法
ID3算法的核心是：在决策树各级结点上选择属性时，用信息增益（information gain）作为属性的选择标准，以使得在每一个非叶结点进行测试时，能获得关于被测试记录最大的类别信息。其具体方法是：检测所有的属性，选择信息增益最大的属性产生决策树结点，由该属性的不同取值建立分支，再对各分支的子集递归调用该方法建立决策树结点的分支，直到所有子集仅包含同一类别的数据为止。最后得到一棵决策树，它可以用来对新的样本进行分类。
某属性的信息增益按下列方法计算。通过计算每个属性的信息增益，并比较它们的大小，就不难获得具有最大信息增益的属性。
设S是s个数据样本的集合。假定类标号属性具有m个不同值，定义m个不同类Ci(i=1,…,m)。设si是类Ci中的样本数。对一个给定的样本分类所需的期望信息由下式给出：
其中pi=si/s是任意样本属于Ci的概率。注意，对数函数以2为底，其原因是信息用二进制编码。
设属性A具有v个不同值{a1,a2,……,av}。可以用属性A将S划分为v个子集{S1,S2,……,Sv}，其中Sj中的样本在属性A上具有相同的值aj（j=1,2,……,v）。设sij是子集Sj中类Ci的样本数。由A划分成子集的熵或信息期望由下式给出：
熵值越小，子集划分的纯度越高。对于给定的子集Sj，其信息期望为
其中pij=sij/sj
是Sj中样本属于Ci的概率。在属性A上分枝将获得的信息增益是
Gain(A)=
I(s1, s2, …,sm)-E(A)
ID3算法的优点是：算法的理论清晰，方法简单，学习能力较强。其缺点是：只对比较小的数据集有效，且对噪声比较敏感，当训练数据集加大时，决策树可能会随之改变。
(2)
C4.5算法
C4.5算法继承了ID3算法的优点，并在以下几方面对ID3算法进行了改进：
1)
用信息增益率来选择属性，克服了用信息增益选择属性时偏向选择取值多的属性的不足；
2)
在树构造过程中进行剪枝；
3)
能够完成对连续属性的离散化处理；
4)
能够对不完整数据进行处理。
C4.5算法与其它分类算法如统计方法、神经网络等比较起来有如下优点：产生的分类规则易于理解，准确率较高。其缺点是：在构造树的过程中，需要对数据集
进行多次的顺序扫描和排序，因而导致算法的低效。此外，C4.5只适合于能够驻留于内存的数据集，当训练集大得无法在内存容纳时程序无法运行。
(3)
SLIQ算法
SLIQ算法对C4.5决策树分类算法的实现方法进行了改进，在决策树的构造过程中采用了“预排序”和“广度优先策略”两种技术。
1)预排序。对于连续属性在每个内部结点寻找其最优分裂标准时，都需要对训练集按照该属性的取值进行排序，而排序是很浪费时间的操作。为此，SLIQ算法
采用了预排序技术。所谓预排序，就是针对每个属性的取值，把所有的记录按照从小到大的顺序进行排序，以消除在决策树的每个结点对数据集进行的排序。具体实
现时，需要为训练数据集的每个属性创建一个属性列表，为类别属性创建一个类别列表。
2)广度优先策略。在C4.5算法中，树的构造是按照深度优先策略完成的，需要对每个属性列表在每个结点处都进行一遍扫描，费时很多，为此，SLIQ采用
广度优先策略构造决策树，即在决策树的每一层只需对每个属性列表扫描一次，就可以为当前决策树中每个叶子结点找到最优分裂标准。
SLIQ算法由于采用了上述两种技术，使得该算法能够处理比C4.5大得多的训练集，在一定范围内具有良好的随记录个数和属性个数增长的可伸缩性。
然而它仍然存在如下缺点：
1)由于需要将类别列表存放于内存,而类别列表的元组数与训练集的元组数是相同的,这就一定程度上限制了可以处理的数据集的大小。
2)由于采用了预排序技术，而排序算法的复杂度本身并不是与记录个数成线性关系，因此，使得SLIQ算法不可能达到随记录数目增长的线性可伸缩性。
(4)SPRINT算法
为了减少驻留于内存的数据量，SPRINT算法进一步改进了决策树算法的数据结构，去掉了在SLIQ中需要驻留于内存的类别列表，将它的类别列合并到每个
属性列表中。这样，在遍历每个属性列表寻找当前结点的最优分裂标准时，不必参照其他信息，将对结点的分裂表现在对属性列表的分裂，即将每个属性列表分成两
个，分别存放属于各个结点的记录。
SPRINT算法的优点是在寻找每个结点的最优分裂标准时变得更简单。其缺点是对非分裂属性的属性列表进行分裂变得很困难。解决的办法是对分裂属性进行分
裂时用哈希表记录下每个记录属于哪个孩子结点，若内存能够容纳下整个哈希表，其他属性列表的分裂只需参照该哈希表即可。由于哈希表的大小与训练集的大小成
正比，当训练集很大时，哈希表可能无法在内存容纳，此时分裂只能分批执行，这使得SPRINT算法的可伸缩性仍然不是很好。
C4.5算法
一．背景
最早的决策时算法是由Hunt等人于1966年提出的CLS。当前最有影响的决策树算法是Quinlan于1986年提出的ID3和1993年提出的C4.5。ID3只能处理离散型描述属性，它选择信息增益最大的属性划分训练样本，其目的是进行分枝时系统的熵最小，从而提高算法的运算速度和精确度。ID3算法的主要缺陷是，用信息增益作为选择分枝属性的标准时，偏向于取值较多的属性，而在某些情况下，这类属性可能不会提供太多有价值的信息。C4.5是ID3算法的改进算法，不仅可以处理离散型描述属性，还能处理连续性描述属性。C4.5采用了信息增益比作为选择分枝属性的标准，弥补了ID3算法的不足。
决策树算法的优点如下：（1）分类精度高；（2）成的模式简单；（3）对噪声数据有很好的健壮性。因而是目前应用最为广泛的归纳推理算法之一，在数据挖掘中受到研究者的广泛关注。
二．C4.5改进的具体方面
1.ID3算法存在的缺点
（1）ID3算法在选择根节点和各内部节点中的分支属性时，采用信息增益作为评价标准。信息增益的缺点是倾向于选择取值较多的属性，在有些情况下这类属性可能不会提供太多有价值的信息。
（2）ID3算法只能对描述属性为离散型属性的数据集构造决策树。
2． C4.5算法做出的改进
(1)用信息增益率来选择属性
克服了用信息增益来选择属性时偏向选择值多的属性的不足。信息增益率定义为：
其中Gain(S,A)与ID3算法中的信息增益相同，而分裂信息SplitInfo(S,A)代表了按照属性A分裂样本集S的广度和均匀性。
其中，S1到Sc是c个不同值的属性A分割S而形成的c个样本子集。
如按照属性A把S集（含30个用例）分成了10个用例和20个用例两个集合
则SplitInfo(S,A)=-1/3*log(1/3)-2/3*log(2/3)
(2)可以处理连续数值型属性
C4.5既可以处理离散型描述属性，也可以处理连续性描述属性。在选择某节点上的分枝属性时，对于离散型描述属性，C4.5的处理方法与ID3相同，按照该属性本身的取值个数进行计算；对于某个连续性描述属性Ac，假设在某个结点上的数据集的样本数量为total，C4.5将作以下处理。
l 将该结点上的所有数据样本按照连续型描述属性的具体数值，由小到大进行排序，得到属性值的取值序列{A1c，A2c，……Atotalc}。
l 在取值序列中生成total-1个分割点。第i（0<i<total）个分割点的取值设置为Vi=（Aic+A（i+1）c）/2,它可以将该节点上的数据集划分为两个子集。
l 从total-1个分割点中选择最佳分割点。对于每一个分割点划分数据集的方式，C4.5计算它的信息增益比，并且从中选择信息增益比最大的分割点来划分数据集。
(3)采用了一种后剪枝方法
避免树的高度无节制的增长，避免过度拟合数据，
该方法使用训练样本集本身来估计剪枝前后的误差，从而决定是否真正剪枝。方法中使用的公式如下：
其中N是实例的数量，f=E/N为观察到的误差率（其中E为N个实例中分类错误的个数），q为真实的误差率，c为置信度（C4.5算法的一个输入参数，默认值为0.25），z为对应于置信度c的标准差，其值可根据c的设定值通过查正态分布表得到。通过该公式即可计算出真实误差率q的一个置信度上限，用此上限为该节点误差率e做一个悲观的估计：
通过判断剪枝前后e的大小，从而决定是否需要剪枝。
(4)对于缺失值的处理
在某些情况下，可供使用的数据可能缺少某些属性的值。假如〈x，c(x)〉是样本集S中的一个训练实例，但是其属性A的值A(x)未知。处理缺少属性值的一种策略是赋给它结点n所对应的训练实例中该属性的最常见值；另外一种更复杂的策略是为A的每个可能值赋予一个概率。例如，给定一个布尔属性A，如果结点n包含6个已知A=1和4个A=0的实例，那么A(x)=1的概率是0.6，而A(x)=0的概率是0.4。于是，实例x的60%被分配到A=1的分支，40%被分配到另一个分支。这些片断样例（fractional examples）的目的是计算信息增益，另外，如果有第二个缺少值的属性必须被测试，这些样例可以在后继的树分支中被进一步细分。C4.5就是使用这种方法处理缺少的属性值。
3. C4.5算法的优缺点
优点：产生的分类规则易于理解，准确率较高。
缺点：在构造树的过程中，需要对数据集进行多次的顺序扫描和排序，因而导致算法的低效。此外，C4.5只适合于能够驻留于内存的数据集，当训练集大得无法在内存容纳时程序无法运行。
三．C4.5算法源代码（C++）
// C4.5_test.cpp : Defines the entry point for the console application.
//
#include "stdafx.h"
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include "malloc.h"
#include <stdlib.h>
const int MAX = 10;
int** iInput;
int i = 0;//列数
int j = 0;//行数
void build_tree(FILE *fp, int* iSamples, int* iAttribute,int ilevel);//输出规则
int choose_attribute(int* iSamples, int* iAttribute);//通过计算信息增益率选出test_attribute
double info(double dTrue,double dFalse);//计算期望信息
double entropy(double dTrue, double dFalse, double dAll);//求熵
double splitinfo(int* list,double dAll);
int check_samples(int *iSamples);//检查samples是否都在同一个类里
int check_ordinary(int *iSamples);//检查最普通的类
int check_attribute_null(int *iAttribute);//检查attribute是否为空
void get_attributes(int *iSamples,int *iAttributeValue,int iAttribute);
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
FILE *fp;
FILE *fp1;
char iGet;
int a = 0;
int b = 0;//a,b是循环变量
int* iSamples;
int* iAttribute;
fp = fopen("c:\\input.txt","r");
if (NULL == fp)
{
printf("error\n");
return 0;
}
iGet = getc(fp); while (('\n' != iGet)&&(EOF != iGet))
{
if (',' == iGet)
{
i++;
}
iGet = getc(fp);
}
i++; iAttribute = (int *)malloc(sizeof(int)*i);
for (int k = 0; k<i; k++)
{
iAttribute[k] = (int)malloc(sizeof(int));
iAttribute[k] = 1;
}
while (EOF != iGet)
{
if ('\n' == iGet)
{
j++;
}
iGet = getc(fp);
}
j++; iInput = (int **)malloc(sizeof(int*)*j);
iSamples = (int *)malloc(sizeof(int)*j);
for (a = 0;a < j;a++)
{
iInput[a] = (int *)malloc(sizeof(int)*i);
iSamples[a] = (int)malloc(sizeof(int));
iSamples[a] = a;
}
a = 0;
fclose(fp);
fp=fopen("c:\\input.txt","r");
iGet = getc(fp);
while(EOF != iGet)
{
if ((',' != iGet)&&('\n' != iGet))
{
iInput[a][b] = iGet - 48;
b++;
}
if (b == i)
{
a++;
b = 0;
}
iGet = getc(fp);
} fp1 = fopen("d:\\output.txt","w");
build_tree(fp1,iSamples,iAttribute,0);
fclose(fp);
return 0;
} void build_tree(FILE * fp, int* iSamples, int* iAttribute,int level)//
{
int iTest_Attribute = 0;
int iAttributeValue[MAX];
int k = 0;
int l = 0;
int m = 0;
int *iSamples1;
for (k = 0; k<MAX; k++)
{
iAttributeValue[k] = -1;
}
if (0 == check_samples(iSamples))
{
fprintf(fp,"result: %d\n",iInput[iSamples[0]][i-1]);
return;
}
if (1 == check_attribute_null(iAttribute))
{
fprintf(fp,"result: %d\n",check_ordinary(iSamples));
return;
}
iTest_Attribute = choose_attribute(iSamples,iAttribute);
iAttribute[iTest_Attribute] = -1;
get_attributes(iSamples,iAttributeValue,iTest_Attribute);
k = 0;
while ((-1 != iAttributeValue[k])&&(k < MAX))
{
l = 0;
m = 0;
while ((-1 != iSamples[l])&&(l < j))
{
if (iInput[iSamples[l]][iTest_Attribute] == iAttributeValue[k])
{
m++;
}
l++;
}
iSamples1 = (int *)malloc(sizeof(int)*(m+1));
l = 0;
m = 0;
while ((-1 != iSamples[l])&&(l < j))
{
if (iInput[iSamples[l]][iTest_Attribute] == iAttributeValue[k])
{
iSamples1[m] = iSamples[l];
m++;
}
l++;
}
iSamples1[m] = -1;
if (-1 == iSamples1[0])
{
fprintf(fp,"result: %d\n",check_ordinary(iSamples));
return;
}
fprintf(fp,"level%d: %d = %d\n",level,iTest_Attribute,iAttributeValue[k]);
build_tree(fp,iSamples1,iAttribute,level+1);
k++;
}
}
int choose_attribute(int* iSamples, int* iAttribute)
{
int iTestAttribute = -1;
int k = 0;
int l = 0;
int m = 0;
int n = 0;
int iTrue = 0;
int iFalse = 0;
int iTrue1 = 0;
int iFalse1 = 0;
int iDepart[MAX];
int iRecord[MAX];
double dEntropy = 0.0;
double dGainratio = 0.0;
double test = 0.0; for (k = 0;k<MAX;k++)
{
iDepart[k] = -1;
iRecord[k] = 0;
}
k = 0;
while ((l!=2)&&(k<(i - 1)))
{
if (iAttribute[k] == -1)
{
l++;
}
k++;
}
if (l == 1)
{
for (k = 0;k<(k-1);k++)
{
if (iAttribute[k] == -1)
{
return iAttribute[k];
}
}
}
for (k = 0;k < (i-1);k++)
{
l = 0;
iTrue = 0;
iFalse = 0;
if (iAttribute[k] != -1)
{
while ((-1 != iSamples[l])&&(l < j))
{
if (0 == iInput[iSamples[l]][i-1])
{
iFalse++;
}
if (1 == iInput[iSamples[l]][i-1])
{
iTrue++;
}
l++;
}
for (n = 0;n<l;n++)//计算该属性有多少不同的值并记录
{
m = 0;
while((iDepart[m]!=-1)&&(m!=MAX))
{
if (iInput[iSamples[n]][iAttribute[k]] == iDepart[m])
{
break;
}
m++;
}
if (-1 == iDepart[m])
{
iDepart[m] = iInput[iSamples[n]][iAttribute[k]];
}
}
while ((iDepart[m] != -1)&&(m!=MAX))
{
for (n = 0;n<l;n++)
{
if (iInput[iSamples[n]][iAttribute[k]] == iDepart[m])
{
if (1 == iInput[iSamples[n]][i-1])
{
iTrue1++;
}
if (0 == iInput[iSamples[n]][i-1])
{
iFalse1++;
}
iRecord[m]++;
}
} dEntropy += entropy((double)iTrue1,(double)iFalse1,(double)l);
iTrue1 = 0;
iFalse1 = 0;
m++;
}
double dSplitinfo = splitinfo(iRecord,(double)l);
if (-1 == iTestAttribute)
{
iTestAttribute = k;
dGainratio = (info((double)iTrue,(double)iFalse)-dEntropy)/dSplitinfo;
}
else
{
test = (info((double)iTrue,(double)iFalse)-dEntropy)/dSplitinfo;
if (dGainratio < test)
{
iTestAttribute = k;
dGainratio = test;
}
}
}
}
return iTestAttribute;
}
double info(double dTrue,double dFalse)
{
double dInfo = 0.0;
dInfo = ((dTrue/(dTrue+dFalse))*(log(dTrue/(dTrue+dFalse))/log(2.0))+(dFalse/(dTrue+dFalse))*(log(dFalse/(dTrue+dFalse))/log(2.0)))*(-1);
return dInfo;
}
double entropy(double dTrue, double dFalse, double dAll)
{
double dEntropy = 0.0;
dEntropy = (dTrue + dFalse)*info(dTrue,dFalse)/dAll;
return dEntropy;
}
double splitinfo(int* list,double dAll)
{
int k = 0;
double dSplitinfo = 0.0;
while (0!=list[k])
{
dSplitinfo -= ((double)list[k]/(double)dAll)*(log((double)list[k]/(double)dAll));
k++;
}
return dSplitinfo;
}
int check_samples(int *iSamples)
{
int k = 0;
int b = 0;
while ((-1 != iSamples[k])&&(k < j-1))
{
if (iInput[k][i-1] != iInput[k+1][i-1])
{
b = 1;
break;
}
k++;
}
return b;
}
int check_ordinary(int *iSamples)
{
int k = 0;
int iTrue = 0;
int iFalse = 0;
while ((-1 != iSamples[k])&&(k < i))
{
if (0 == iInput[iSamples[k]][i-1])
{
iFalse++;
}
else
{
iTrue++;
}
k++;
}
if (iTrue >= iFalse)
{
return 1;
}
else
{
return 0;
}
}
int check_attribute_null(int *iAttribute)
{
int k = 0;
while (k < (i-1))
{
if (-1 != iAttribute[k])
{
return 0;
}
k++;
}
return 1;
}
void get_attributes(int *iSamples,int *iAttributeValue,int iAttribute)
{
int k = 0;
int l = 0;
while ((-1 != iSamples[k])&&(k < j))
{
l = 0;
while (-1 != iAttributeValue[l])
{
if (iInput[iSamples[k]][iAttribute] == iAttributeValue[l])
{
break;
}
l++;
}
if (-1 == iAttributeValue[l])
{
iAttributeValue[l] = iInput[iSamples[k]][iAttribute];
}
k++;
}
}