线性代数的本质(笔记二)

时间:2023-02-24 19:12:37

行列式

理解矩阵的行列式其实就是理解线性变换对“体积”的影响。
(在二维里,就是指面积变化前后的缩放比例;那么三维里就是体积变化前后的缩放比例。)

以三维为例:

  1. 当行列式的值>1时,就是体积被放大;
  2. 当行列式的值>0且<1时,就是体积被缩小;
  3. 当行列式的值=0时,就是降维了,从立体(三维)变成了平面(二维);
  4. 当行列式的值<0时,就是翻转了,但绝对值还是表现缩放的比例。

扩展阅读 :行列式的本质

逆矩阵、列空间与零向量

逆矩阵(Inverse Matrices)

线性代数的本质(笔记二)

一个矩阵的行列式不等于0,则意味着它存在逆矩阵。

线性代数的本质(笔记二)

如果行列式为0,为什么没有逆矩阵呢?因为意味着逆后会有多种可能,也就是不唯一。

线性代数的本质(笔记二)

秩(Rank)

变换后空间的维数。

例如一个二维的空间最大的秩为2;三维的空间最大的秩为3。

满秩(Full Rank)

线性代数的本质(笔记二)

列空间(Column Space)

线性代数的本质(笔记二)

如何理解列空间?

线性代数的本质(笔记二)

线性代数的本质(笔记二)

零向量

对于满秩矩阵来说,只有零向量在变换后落在原点。(像原始三维里,也就零向量会落在原点。)

对于非满秩矩阵来说,意味着有一系列的向量在变换后称为零向量。(如果三维被变成了二维,就意味着有一维被压缩在原点里。)

零空间(null space)

变换后落在原点的向量的集合。

非方阵

非方阵就是它不是n*n的矩阵。

说明下,矩阵里的列数代表着这个原始矩阵的维度是多少,每一列里的行代表着这个矩阵的各个基向量的坐标表示。

线性代数的本质(笔记二)

线性代数的本质(笔记二)

这个意味着是把一个二维的空间映射到三维的空间里(即这个二维的空间如果在三维空间里是怎样的表示的意思)。

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