点积：两个维数相同的向量或是两个长度相同的数组，求它们的点积就是将相应坐标配对，求出每一对坐标的乘积，然后将结果相加。
几何解释：要求两个向量V和W的点积，想象将向量W朝着过原点和向量V终点的直线上投影，将投影的长度与向量V的长度相乘，你就得到了它们的点积：V点乘W。
除非两者方向相反，则点积为负值。两者垂直时，则为零。
为什么点积与顺序无关呢？
如果V和W的长度恰好相同，我们可以利用其中的对称性，两种投影互为镜像，若将其中一个缩放若干倍，对称性被破坏，但是被投影的向量长度保持不变。
为什么点积的运算过程（对应坐标相乘并将结果相加）和投影有所联系呢？
最令人满意的答案来自于对偶性。先来谈谈多维空间到一维空间（数轴）的线性变换， 从二维到一维的线性变换，可以让等距分布的点保持等距分布。
1x2矩阵与向量相乘这一数值运算过程，感觉上就和两个向量的点积一样。1x2矩阵不正像一个倾倒的向量吗？
实际上，我们现在可以说，1x2矩阵与二维向量之间有着微妙的联系，这种关系在于：将向量放倒，从而得到与之相关的矩阵，或者将矩阵立直，从而得到与之相关的向量。这只是从数值的角度看，貌似毫无意义。
将向量转化为数的线性变换和这个向量本身有着某种关系，举个例子，并且回答了前面点积的问题。
一个二维空间的向量u帽，恰好落在一条过原点的斜着的数轴上。
所以描述投影变换的1x2矩阵的两列，就分别是u帽的两个坐标，而空间中任意向量经过投影变换的结果，也就是投影矩阵与这个向量相乘，和这个向量与u帽的点积在计算上完全相同。
这就是为什么与单位向量的点积可以解读为，将向量投影到单位向量所在的直线上所得到的的投影长度。
而向量与给定非单位向量的点积可以解读为，首先朝给定向量上投影，然后将投影的值与给定向量的长度相乘。
注意一下这个过程，我们有一个从二维空间到数轴的线性变换，它并不是由向量数值或点积运算定义得到的，而只是通过将空间投影到给定数轴上来定义。但是因为这个变换是线性的，所以它必然可以用某个1x2矩阵描述，又因为1x2矩阵与二维向量相乘的计算过程，和转置矩阵并求点积的计算过程相同，所以这个投影变换必然会与某个二维向量相关。
这里给你的启发是，你在任何时候看到一个线性变换，它的输出空间是一维数轴，无论它是如何定义的，空间中会存在唯一的向量V与之相关，就这一意义而言，应用变换和与向量V做点积是一样的。
这是数学中对偶性的一个实例。你可以说一个向量的对偶是由它定义的线性变换，一个多维空间到一维空间的线性变换的对偶是多维空间中的某个特定向量。
总结一下，表面上看，点积是理解投影集合的有利几何工具，并且方便检验两个向量的指向是否相同。这大概也是你需要记住的点积中最重要的部分。
更进一步讲，两个向量点乘，就是将其中一个向量转化为线性变换，同样，在数值上强调它可能显得没有意义，因为只是看上去恰好相似的计算过程而已，但是个人觉得这一过程非常重要，因为从始至终你都在和向量打交道，一旦真正了解向量的“个性”，有时你就会意识到，不把它看作空间中的箭头，而把它看作线性变换的物质载体，会更容易理解向量。向量就仿佛是一个特点变换的概念性记号，因为对我们来说，想象空间中的向量比想象整个空间移动到数轴上更加容易。