几何体的体积和表面积

前言

涉及公式

补充柱体、锥体、台体、球体的体积和表面积公式

技巧总结

常运用割补法，

典例剖析

例1 【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】已知\(AB\)为半径为\(R\)的球\(O\)的一条直径，过\(OB\)的中点\(M\)作垂直于\(AB\)的截面，若以此截面为底面，\(A\)为顶点的圆锥的体积为\(\cfrac{3\pi}{8}\)，则球的表面积为__________。

分析：如图所示，\(OA=R\)，\(MD=r\)，则\(AM=\cfrac{3R}{2}\)，\(BM=\cfrac{R}{2}\)，

由相交弦定理(垂径定理)可知，\(r^2=\cfrac{3R}{2}\cdot \cfrac{R}{2}=\cfrac{3R^2}{4}\)，圆锥的高\(h=AM=\cfrac{3R}{2}\)

则\(V_{圆锥}=\cfrac{1}{3}\pi r^2 h=\cfrac{3\pi R^3}{8}=\cfrac{3\pi}{8}\)，故\(R=1\)，故\(S_{球}=4\pi R^2=4\pi\).

例2 【2017凤翔中学第二次月考理科第15题】

已知三棱锥\(P-ABC\)满足\(PA、PB、PC\)两两垂直，且\(PA=PB=PC=2\)，\(Q\)是三棱锥\(P-ABC\)外接球上的一个动点，则点\(Q\)到平面\(ABC\)的距离的最大值是多少？

分析：我们可以将此三棱锥还原为正方体的一部分，补体并特殊化为为正方体的一个角，如图所示，

且正方体有个外接球，那么点\(Q\)到平面\(ABC\)的距离的最大值即是正方体的体对角线的\(\cfrac{2}{3}\)，而体对角线长为\(\sqrt{2^2+2^2+2^2}=2\sqrt{3}\)，故所求值为\(\cfrac{4\sqrt{3}}{3}\)。

例3 【2017凤翔中学第三次月考理科第10题】

已知球面上有\(A、B、C\)三点，如果\(|AB|=|BC|=|AC|=2\sqrt{3}\)，且球心到平面\(ABC\)的距离为1，则该球的体积为多少？

分析：本题目关键是求球的半径\(R\) ，如上例中的模型，已知的三点可以安放在图中的点\(A'、B、C'\)处，但是要注意，

已知的平面\(ABC\)和模型中的平面\(A'BC'\)平行，不一定重合，此时求半径问题就转化为求正三棱锥的侧棱的长问题了，

而且此时正三棱锥的底面边长为\(2\sqrt{3}\)，正三棱锥的高是1，高的垂足\(E\)是下底面的中心，

则其侧棱\(OA\)，\(OA=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\)，故\(R=\sqrt{5}\)，

故该球的体积\(V_球=\cfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot R^3=\cfrac{20\sqrt{5}}{3}\pi\)。

例4 【2019届高三理科数学二轮用题】在面积为4的正方形\(ABCD\)中，\(M\)是线段\(AB\)的中点，现将图形沿\(MC\)，\(MD\)折起，使线段\(MA\)和\(MB\)重合，得到一个四面体\(A-CDM\)，其中点\(B\)和点\(A\)重合，则该四面体外接球的表面积为_________。

分析：平面图形如左图，立体图形如右图所示，\(\angle MAC=\angle MAD=\cfrac{\pi}{2}\)，下来的重点是如何将四面体放置在球体内部。

可以这样来思考，将最特殊的面\(ACD\)放置在下底面，这样方便来放置和下底面垂直的侧棱，如下图所示；

底面圆的圆心\(O'\)为下底面正三角形的重心，\(O\)为球心，则\(OA=OM=R\)，由于\(\triangle ACD\)为等边三角形，\(AC=2\)，则\(CH=1\)，\(AH=\sqrt{3}\)，则\(AO'=\cfrac{2\sqrt{3}}{3}\)，过点\(O\)做\(OK\perp AM\)于\(K\)，则\(OK=AO'=\cfrac{2\sqrt{3}}{3}\)，又\(AK=\cfrac{1}{2}AM=\cfrac{1}{2}\)，在\(Rt\triangle AOK\)中，由勾股定理可知\(R^2=(\cfrac{2\sqrt{3}}{3})^2+(\cfrac{1}{2})^2=\cfrac{19}{12}\)，故\(S_{球O}=4\pi R^2=\cfrac{19\pi}{3}\)。

补充说明：如果想不清这一点，还可以想着将四面体补体成一个直三棱柱，如下图的动图所示，

解后反思：当一条侧棱和下底面垂直时，常将三棱锥\(M-ACD\)补体成直三棱柱\(MC'D'-ACD\)，这样容易想清楚。

例5 【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】三棱锥\(P-ABC\)中，\(\triangle ABC\)为等边三角形，\(PA=PB=PC=3\)，\(PA\perp PB\)，则三棱锥\(P-ABC\)的外接球的表面积为__________。

分析：补体并特殊化为为正方体的一个角，如图所示，

则体对角线长为\(3\sqrt{3}\)，即\(R=\cfrac{3\sqrt{3}}{2}\)，故\(S_{表}=4\pi R^2=27\pi\).

例6 【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】

例7 【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】鲁班锁时中国古代传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构。如图所示，在没有钉子和绳子的情况下，通过一种榫卯咬合的方式把三组木条(共六根木条，每根木条均可视为正四棱柱)垂直相交固定在一起，其上下、左右、前后完全对称。现有一个鲁班锁，每一根木条的高为\(5\)，底面正方形的边长为\(2\)，现将该鲁班锁放在一个球形容器中，则能容纳该鲁班锁的最小球形容器的表面积为(容器壁厚度忽略不计)【】

$A.28\pi$ $B.33\pi$ $C.45\pi$ $D.120\pi$

分析：由于鲁班锁的上下、左右、前后完全对称，故此问题等同于一个下底面的长为\(2\)宽为\(4\)，高为\(5\)的长方体外接于球，如图所示，

则外接球的直径为长方体的体对角线，则其长为\(\sqrt{2^2+4^2+5^2}=3\sqrt{5}\)，则\(R=\cfrac{3\sqrt{5}}{2}\)，

故球体的表面积为\(4\pi R^2=45\pi\)，故选\(C\).