codeforces 340B Maximal Area Quadrilateral（叉积）

事实再一次证明：本小菜在计算几何上就是个渣= =

题意：平面上n个点(n<=300)，问任意四个点组成的四边形（保证四条边不相交）的最大面积是多少。

分析：

1、第一思路是枚举四个点，以O(n4)的算法妥妥超时。

2、以下思路源自官方题解

　　以O(n2)枚举每一条边，以这条边作为四边形的对角线（注意：这里所说的对角线是指把四边形分成两部分的线，不考虑凹四边形可能出现的两个点在对角线同一侧的情况），以O(n)枚举每一个点，判断是在对角线所在直线的左侧还是右侧。因为被对角线分割开的两三角形不相关，所以可以单独讨论：分别找出左右两侧的最大三角形，二者之和即为此边对应的最大四边形。整个算法为O(n3)。

3、何为叉积?

　　百度百科“叉积”解释的很详细，这里用到两条：

　　一、axb 表示的是一个符合右手法则的、垂直于a、b的向量c，|c|=|a|*|b|*sinθ，θ指向量a,b的夹角，即|c|是以a、b为边的平行四边形的面积——已知3点A,B,C，|BAxCA|==S(三角形ABC)*2。

　　二、坐标表示法中，a(x1,y1),b(x2,y2)。c=axb=x1*y2-x2*y1，c的正负表示方向，正为上、负为下。而在三维中，方向不能简单的以正负表示，所以只能以一个向量的形式来描述：

　　|  i , j , k |

　　|x1,y1,z1|

　　|x2,y2,z2|  i,j,k分别表示x轴、y轴、z轴上的单位向量，矩阵的解也就是c=axb。

　　这里只是二维平面，判断点在向量所在直线的哪一侧，就可以利用叉积的方向来区别。对角线AB，两侧各取一点C、D，必然有CAxCB=-DAxDB。

注意：一开始不知道叉积的模即是三角形面积的两倍，就用axb=|a|*|b|*cosθ推S=|a|*|b|*sinθ，跑到第八组数据就超时了，纠结了好久，后来发现，原来每个三角形是在O(n3)的复杂度下求解的，多算一步就多一个O(n3)，TLE的不冤T^T

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;

const int MAXN=333;
const double eps=1e-10;

struct Point{
    double x,y;
    Point(double _x=0,double _y=0):x(_x),y(_y){}
}p[MAXN];

typedef Point Vector;

Vector operator - (Vector a,Vector b){return Vector(a.x-b.x,a.y-b.y);}

double cross(Vector a,Vector b)
{
    return (a.x*b.y-a.y*b.x)*0.5;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    rep(i,1,n){
        scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
    }
    double ans=0;
    rep(i,1,n){
        rep(j,i+1,n){
            double lmax,rmax;
            lmax=rmax=0;
            rep(k,1,n){
                if(k==i||k==j)
                    continue;
                double s=cross(p[i]-p[k],p[j]-p[k]);
                if(s<eps)
                    lmax=max(lmax,-s);
                else
                    rmax=max(rmax,s);
            }
            if(lmax==0||rmax==0)
                continue;
            ans=max(ans,lmax+rmax);
        }
    }
    printf("%f\n",ans);
    return 0;
}