Description

根据一些书上的记载，上帝的一次失败的创世经历是这样的：

第一天，上帝创造了一个世界的基本元素，称做“元”。

第二天，上帝创造了一个新的元素，称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现，一共有两种不同的“α”。

第三天，上帝又创造了一个新的元素，称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现，一共有四种不同的“β”。

第四天，上帝创造了新的元素“γ”，“γ”被定义为“β”的集合。显然，一共会有16种不同的“γ”。

如果按照这样下去，上帝创造的第四种元素将会有65536种，第五种元素将会有2^65536种。这将会是一个天文数字。

然而，上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来，因此，日复一日，年复一年，他重复地创造着新的元素……

然而不久，当上帝创造出最后一种元素“θ”时，他发现这世界的元素实在是太多了，以致于世界的容量不足，无法承受。因此在这一天，上帝毁灭了世界。

至今，上帝仍记得那次失败的创世经历，现在他想问问你，他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种？

上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来，因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。

你可以认为上帝从“α”到“θ”一共创造了10^9次元素，或10^18次，或者干脆∞次。

一句话题意：

求 $2^{2^{2^{2^{. . .}}}} \mod p$

对于100%的数据，T<=1000,p<=10^7

Solution

果然还是姿势不够被吊打-_-||
欧拉定理：当 $g c d (a, p) = 1$ 时 $a^{φ (p)} \equiv 1 (\mod p)$
拓展欧拉定理： $a^{b} \equiv a^{b \mod φ (p) + φ (p)} (\mod p)$
介样设 $f (p) = 2^{2^{2^{2^{. . .}}}} \mod p = 2^{2^{2^{2^{. . .}}} \mod φ (p) + φ (p)} \mod p = 2^{f (φ (p)) + φ (p)} \mod p$
易知当p=1时返回0，这样递推或者递归就行了

Code

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define rep(i,st,ed) for (int i=st;i<=ed;++i)

typedef long long LL;
const int N=10000000;

int prime[N/2],phi[N+1];
bool not_prime[N+1];

void pre_work() {
    phi[1]=1;
    rep(i,2,N) {
if (!not_prime[i]) {
            prime[++prime[0]]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
for (int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=N;j++) {
            not_prime[i*prime[j]]=1;
if (i%prime[j]==0) {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
break;
            }
            phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
}

LL ksm(LL x,LL dep,LL p) {
if (dep==0) return 1;
if (dep==1) return x;
    LL tmp=ksm(x,dep/2,p);
if (dep%2) return tmp*tmp%p*x%p;
return tmp*tmp%p;
}

LL solve(LL p) {
if (p==1) return 0;
    LL ret=solve(phi[p])+phi[p];
return ksm(2,ret,p)%p;
}

int main(void) {
    pre_work();
int T; scanf("%d",&T);
while (T--) {
        LL x; scanf("%lld",&x);
printf("%lld\n", solve(x));
    }
return 0;
}

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bzoj3884 上帝与集合的正确用法

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