[BZOJ3884] 上帝与集合的正确用法

[BZOJ3884] 上帝与集合的正确用法

Description

根据一些书上的记载，上帝的一次失败的创世经历是这样的：第一天， 上帝创造了一个世界的基本元素，称做“元”。第二天， 上帝创造了一个新的元素，称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现，一共有两种不同的“α”。第三天， 上帝又创造了一个新的元素，称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现，一共有四种不同的“β”。第四天， 上帝创造了新的元素“γ”，“γ”被定义为“β”的集合。显然，一共会有16种不同的“γ”。如果按照这样下去，上帝创造的第四种元素将会有65536种，第五种元素将会有2^65536种。这将会是一个天文数字。然而，上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来，因此，日复一日，年复一年，他重复地创造着新的元素……然而不久，当上帝创造出最后一种元素“θ”时，他发现这世界的元素实在是太多了，以致于世界的容量不足，无法承受。因此在这一天，上帝毁灭了世界。至今，上帝仍记得那次失败的创世经历，现在他想问问你，他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种？上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来，因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。你可以认为上帝从“α”到“θ”一共创造了10^9次元素，或10^18次，或者干脆∞次。一句话题意：

Input

接下来T行，每行一个正整数p，代表你需要取模的值

Output

T行，每行一个正整数，为答案对p取模后的值

Sample Input

3
2
3
6

Sample Output

0
1
4

HINT

对于100%的数据，T<=1000,p<=10^7

试题分析

根据拓展欧拉定理\[a^x=a^{x\mod \phi(p)+\phi(p)} \pmod{p}\]
可以发现每次的模数会换成\(\phi(p)\)。
这样的话只需要\(log\)级别\(\phi(p)\)就会变成1。
证明：

• \(\phi(p)\)其中p为偶数，那么\(\phi(p)<\frac{1}{2} p\)。
  
• 否则\(\phi(p)=p_1^{a_1-1} (p_1-1)\times p_2^{a_2-1}(p_2-1)\times \ldots \times p_n^{a_n-1}(p_n-1)\)，因为\(p\)不是偶数，所以质因子全为奇数，而奇数-1=偶数，所以当\(p\not = 1\)时，\(2|phi(p)\)。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
 
using namespace std;
#define LL long long
 
inline LL read(){
    LL x=0,f=1; char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
    return x*f;
}
const LL MAXN = 10001000;
const LL INF = 2147483600;
 
int pri[MAXN+1],cnt;
int phi[MAXN+1]; bool vis[MAXN+1];
 
inline LL Pow(LL A,LL B,LL P){
    LL res=1; for(; B; B>>=1,A=A*A%P) if(B&1) res=res*A%P; return res;
}
inline void init(){
    phi[1]=1;
    for(LL i=2;i<MAXN;i++){
        if(!vis[i]) pri[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
        for(LL j=1;j<=cnt&&pri[j]*i<MAXN;j++){
            vis[i*pri[j]]=true;
            if(i%pri[j]==0){phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j]; break;}
            phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);
        }
    } return ;
}
inline LL Get(LL P){
    if(phi[P]==1) return 2LL%P;
    LL x=Get(phi[P])%phi[P]; 
    return Pow(2LL,(x+phi[P]),P)%P;
}
 
int main(){
    //freopen(".in","r",stdin);
    //freopen(".out","w",stdout);
    int T=read(); init();
    while(T--){
        LL x=read();
        printf("%lld\n",Get(x)%x);
    }
    return 0;
}