Devu和鲜花 （容斥原理）

题目：

Devu有N个盒子，第i个盒子中有Ai枝花。

同一个盒子内的花颜色相同，不同盒子内的花颜色不同。

Devu要从这些盒子中选出M枝花组成一束，求共有多少种方案。

若两束花每种颜色的花的数量都相同，则认为这两束花是相同的方案。

结果需对109+7取模之后方可输出。

输入格式

第一行包含两个整数N和M。

第二行包含N个空格隔开的整数，表示A1,A2,…,AN。

输出格式

输出一个整数，表示方案数量对109+7109+7取模后的结果。

数据范围

1≤N≤201≤N≤20,
0≤M≤10140≤M≤1014,
0≤Ai≤10120≤Ai≤1012

输入样例：

3 5
1 3 2

输出样例：

3

解题报告：
一开始没有研究出来怎么容斥处理，后来参考了一下大佬的博客，才理解了这道题目的真谛！

首先假设如果所有的fi都没有限制的情况。
根据无限多重集合的组合数那么答案即为C(s,n+s−1） 
我们需要从这个答案中减去不合法的情况。
不合法的情况即为xi>fixi>fi的情况。
设AiAi为xi>fixi>fi的方案。
|Ai|=C(s−(fi+1),n+s−1−(fi+1)）
相当于我们预先放好这fi+1fi+1个元素。
同理|Ai⋂Aj|=C(s−(fi+1)−(fj+1),n+s−1−(fi+1)−(fj+1))
根据容斥原理答案即为
C(s,n+s−1)−∑1≤i≤n|Ai|+∑1≤i<j≤n|Ai⋂Aj|−...(省略)

我们可以通过状态压缩表示每个状态。
预处理每个状态需要预先放好几个元素。
最后一遍扫描来统计答案。
时间复杂度O(2nn)

 

ac代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int mod=1e9+7;
int n,lim;
ll s,ans;
ll f[30],inv[30],sum[1100000];
int num[1100000];
ll comb(ll n,ll m)
{//求解C(n,m)   
    if(m<0)
        return 0;
    ll ret=1;
    for(ll i=m+1;i<=n;i++)
        ret=ret*(i%mod)%mod;//n!/m!
    for(int i=1;i<=n-m;i++)
        ret=ret*inv[i]%mod;//(n-m)!
    return ret;
}

int main()
{
    cin>>n>>s;//n个盒子，挑选s朵花 
    for(int i=0;i<n;i++)
        cin>>f[i];//输入n个盒子中的花朵数目 
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n+1;i++)
        inv[i]=(inv[mod%i]*(mod-mod/i))%mod;//神奇的求解逆元打表 
    lim=(1<<n)-1;//二进制枚举 ，便于容斥 
    for(int i=0;i<=lim;i++)
    {
        for(int j=0;j<n;j++)
        {
            if(i&(1<<j))
            {
                sum[i]+=f[j]+1;// 预先放好fi+1个元素 
                num[i]++;//标记一下出现的次数 
            }
        }
    }//已经处理好了所有的状态，从1，2，--> n 
    for(int i=0;i<=lim;i++)
    {
        if(num[i]%2)
            ans=(ans-comb(s+n-1-sum[i],s-sum[i])+mod)%mod;
        else
            ans=(ans+comb(s+n-1-sum[i],s-sum[i]))%mod;
    }
    cout<<ans<<endl;
}