洛谷 P3372 线段树 1

时间：2022-12-17 20:15:17

今天植树节，来种一棵线段树。

题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3372

题目描述

如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

1.将某区间每一个数加上x

2.求出某区间每一个数的和

输入输出格式

输入格式：

第一行包含两个整数N、M，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含N个用空格分隔的整数，其中第 i 个数字表示数列第 i 项的初始值。

接下来M行每行包含3或4个整数，表示一个操作，具体如下：

操作1： 格式：1 x y k 含义：将区间[x,y]内每个数加上k

操作2： 格式：2 x y 含义：输出区间[x,y]内每个数的和

输出格式：

输出包含若干行整数，即为所有操作2的结果。

输入输出样例

输入样例：

5 5
1 5 4 2 3
2 2 4
1 2 3 2
2 3 4
1 1 5 1

2 1 4

输出样例：

11
8

20

说明

时空限制：1000 ms , 128 M

数据规模：

对于30%的数据：N<=8，M<=10

对于70%的数据：N<=1000，M<=10000

对于100%的数据：N<=100000，M<=100000

样例说明：

洛谷 P3372 线段树 1


题解

一般来说，拿到这道题的第一个反应应该是硬模，然后一看数据，发现撑不过 O(100000*100000)。‘

于是，我们就有了线段树这种神奇的东西。至于线段树呢，就是下面这种神奇的东西 ↓

洛谷 P3372 线段树 1

对于线段树中的每一个子节点而言，他们都储存着一段子序列，而对于每一个叶子节点而言，他们储存的是单个的信息元素，而每一个父节点都是他两个子节点的整合。

本题是线段树改段求段的模板题，也就是区间修改与区间查询。线段树还有点修改等其他功能，欲知推荐推荐一篇博文：

线段树详解 （原理，实现与应用）


一、建树与维护

1.建树

从根开始，往下建树。根的掌管范围为1~n ( l=1,r=n )。当一个节点掌管着不止一个信息元素时，便让他的左儿子掌管1~mid (mid=(l+r)/2)，右儿子掌管 mid+1~r 。当 l==r （叶子节点）时，则直接赋值。

2.维护

若一个节点有左右儿子，则它的值等于它左儿子的值加上它右儿子的值。

建树代码 ↓

void bt(int l,int r){
	len++;int now=len;
	tr[now].l=l;tr[now].r=r;tr[now].lc=tr[now].rc=-1;tr[now].c=tr[now].lz=0;//l,r为左右边界,lc为左儿子,rc为右儿子,c为值,lz为lazy tag
	if(l<r)
	{
		int mid=(l+r)/2;
		tr[now].lc=len+1;bt(l,mid);
		tr[now].rc=len+1;bt(mid+1,r);
		tr[now].c=tr[tr[now].lc].c+tr[tr[now].rc].c;
	}
	else if(l==r) tr[now].c=a[l];
}

二、区间修改与查询

1.修改

在进行区间修改的时候，我们引入一个概念：lazy tag (懒标记，简称 lazy)。它的作用是向下延迟修改，但因已修改自身的值，在向上传递信息时返回的结果是正确的。

if(tr[now].l==l && tr[now].r==r){	tr[now].c+=(r-l+1)*k;	tr[now].lz+=k;		return;}

由于我们这样的记录方式，在我们每次修改的时候都需向下推一次 lazy（pushdown 操作）。推的时候我们先修改lazy的值，再分别修改左右儿子的值（倒过来也没有影响）。

与最后再对线段树进行维护。

pushdown ↓

void pushdown(int now){	int lc=tr[now].lc,rc=tr[now].rc;	tr[lc].lz+=tr[now].lz;	tr[rc].lz+=tr[now].lz;	tr[lc].c+=(tr[lc].r-tr[lc].l+1)*tr[now].lz;	tr[rc].c+=(tr[rc].r-tr[rc].l+1)*tr[now].lz;	tr[now].lz=0;}

区间修改代码 ↓

void change(int now,int l,int r,int k){	if(tr[now].l==l && tr[now].r==r)	{		tr[now].c+=(r-l+1)*k;		tr[now].lz+=k;			return;	}	if(tr[now].lz) pushdown(now);	int lc=tr[now].lc,rc=tr[now].rc;	int mid=(tr[now].l+tr[now].r)/2;	if(r<=mid) change(lc,l,r,k);	else if(mid+1<=l) change(rc,l,r,k);	else	{		change(lc,l,mid,k);		change(rc,mid+1,r,k);	} 	tr[now].c=tr[lc].c+tr[rc].c;}

2.查询

与修改差不多，要注意的是每找到一个节点就往下推一次 lazy。

区间查询代码 ↓

ll findsum(int now,int l,int r){	if(tr[now].l==l && tr[now].r==r) return tr[now].c;	if(tr[now].lz) pushdown(now);	int lc=tr[now].lc,rc=tr[now].rc;	int mid=(tr[now].l+tr[now].r)/2;	if(r<=mid) return findsum(lc,l,r);	else if(mid+1<=l) return findsum(rc,l,r);	else return findsum(lc,l,mid)+findsum(rc,mid+1,r);}

最后，标程 ↓

#include<cstdio>#include<cstdlib>#define ll long longstruct node{int l,r,lc,rc;ll c,lz;}tr[400010];int a[100010];int n,m,len=0;void bt(int l,int r){	len++;int now=len;	tr[now].l=l;tr[now].r=r;tr[now].lc=tr[now].rc=-1;tr[now].c=tr[now].lz=0;	if(l<r)	{		int mid=(l+r)/2;		tr[now].lc=len+1;bt(l,mid);		tr[now].rc=len+1;bt(mid+1,r);		tr[now].c=tr[tr[now].lc].c+tr[tr[now].rc].c;	}	else if(l==r) tr[now].c=a[l];}void pushdown(int now){	int lc=tr[now].lc,rc=tr[now].rc;	tr[lc].lz+=tr[now].lz;	tr[rc].lz+=tr[now].lz;	tr[lc].c+=(tr[lc].r-tr[lc].l+1)*tr[now].lz;	tr[rc].c+=(tr[rc].r-tr[rc].l+1)*tr[now].lz;	tr[now].lz=0;}void change(int now,int l,int r,int k){	if(tr[now].l==l && tr[now].r==r)	{		tr[now].c+=(r-l+1)*k;		tr[now].lz+=k;			return;	}	if(tr[now].lz) pushdown(now);	int lc=tr[now].lc,rc=tr[now].rc;	int mid=(tr[now].l+tr[now].r)/2;	if(r<=mid) change(lc,l,r,k);	else if(mid+1<=l) change(rc,l,r,k);	else	{		change(lc,l,mid,k);		change(rc,mid+1,r,k);	} 	tr[now].c=tr[lc].c+tr[rc].c;}ll findsum(int now,int l,int r){	if(tr[now].l==l && tr[now].r==r) return tr[now].c;	if(tr[now].lz) pushdown(now);	int lc=tr[now].lc,rc=tr[now].rc;	int mid=(tr[now].l+tr[now].r)/2;	if(r<=mid) return findsum(lc,l,r);	else if(mid+1<=l) return findsum(rc,l,r);	else return findsum(lc,l,mid)+findsum(rc,mid+1,r);}int main(){	scanf("%d %d",&n,&m);	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);	bt(1,n);	for(int i=1;i<=m;i++)	{		int p,x,y;		scanf("%d %d %d",&p,&x,&y);		if(p==1)		{			ll z;			scanf("%lld",&z);			change(1,x,y,z);		}		if(p==2) printf("%lld\n",findsum(1,x,y));	}}

（温馨提示：记得开 long long）

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