JZOJ 5400. 【NOIP2017提高A组模拟10.7】Repulsed

Description

小w 心里的火焰就要被熄灭了。
简便起见，假设小w 的内心是一棵n -1 条边，n 个节点的树。
现在你要在每个节点里放一些个灭火器，每个节点可以放任意多个。
接下来每个节点都要被分配给一个至多k 条边远的灭火器，每个灭火器最多能分配给s 个节点。
至少要多少个灭火器才能让小w 彻底死亡呢？

Solution

错误的贪心：时间超限80%
很显然我们要让灭火器放的点越高越好，且尽量让这些灭火器放同一个点上。
这样做有什么好处：
①可以控制的点最多。
②让这些灭火器放同一个点上可以确定准确的控制的范围。
所以用堆维护目前没有被灭掉的深度最大的点，让他向上走k步，然后暴力删点。
错误之处：
有部分灭火器控制范围交集很大，造成巨大的浪费，显然还可以将灭火器的控制范围的交集变小。
正确的贪心：
考虑从底向顶贪心。
设 g[x][k] 表示点x往下k层的没有被灭掉的点数。 f[x][k] 表示利用点x往下k层的剩余灭火器最多还能灭多少个点。
①我们应该消除距离为k且深度较大的那些点(他们的路径不是直的)，因为深度较小的可能由比x更高的点灭掉。见图①

②深度较深的点(他们的路径是直的)必须先被灭掉，因为深度较浅的点相对较深的被灭掉的机会多。
由①、②得，
I.每次将 g[x][k] 与 f[x][0] 匹配。
II.“路径”[DIS]为k-1的也要匹配。([DIS]指 dep[u]+dep[v]−2dep[w],w可能为lca(u,v)的祖先 )若[DIS]=k-1，则当 w=fa[w] 时，[DIS]=k+1>k，不合题意。
所以，每一次 g[x][i]与f[x][k−i],0≤i≤k 匹配， g[x][i]与f[x][k−1−i],0≤i≤k−1 匹配。
每一次从儿子向父亲转移，
f[x][j]=min(n,f[x][j]+f[y][j−1]),g[x][j]+=g[y][j−1],(y∈sonx)
最后，由于点1为最高点，所以当 gcd(u,v)=1 时，没有w比1深度小。
此时将 g[1][i]与f[1][j] 相匹配， i+j≤k 。
不要忘记加上放在1的灭火器(g[1][i]≥0即还有没被灭的点且1可以控制)。
这题告诉我们
①询问“最少需要”可以考虑贪心。
②考虑贪心的时候未必要钻研出一个100%正确的，但是通过一些靠谱的直觉去想一些能得出与正解非常相似的近似解的方法。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define N 100010
#define LL long long
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
struct note{
    LL to,next;
};note edge[N*2];
LL i,j,k,l,n,m,u,v,s,ans,temp;
LL head[N],tot;
LL fa[N];
LL f[N][22],g[N][22];
LL calc(LL x){
return x/s+((x%s)>0);
}
void lb(LL x,LL y){
    edge[++tot].to=y;
    edge[tot].next=head[x];
    head[x]=tot;
}
void dgf(LL x){
int i;
for(i=head[x];i;i=edge[i].next)
if(edge[i].to!=fa[x]){
            fa[edge[i].to]=x;
            dgf(edge[i].to);
        }
}
void dg(LL x){
int i,j;
for(i=head[x];i;i=edge[i].next)
if(edge[i].to!=fa[x]){
            dg(edge[i].to);
            fo(j,1,k){
                f[x][j]=min(n,f[x][j]+f[edge[i].to][j-1]);
                g[x][j]+=g[edge[i].to][j-1];
            }
        }
    g[x][0]++;
if(g[x][k]){
        j=calc(g[x][k]);
        ans+=j;
        f[x][0]=min(n,j*s);
    }
    fo(i,0,k){
        j=min(g[x][i],f[x][k-i]);
        g[x][i]-=j,f[x][k-i]-=j;
    }
    fo(i,0,k-1){
        j=min(g[x][i],f[x][k-1-i]);
        g[x][i]-=j,f[x][k-1-i]-=j;
    }
}
int main(){
    freopen("repulsed.in","r",stdin);
    freopen("repulsed.out","w",stdout);
scanf("%lld%lld%lld",&n,&s,&k);
    fo(i,1,n-1){
scanf("%lld%lld",&u,&v);
        lb(u,v);lb(v,u);
    }
    ans=0;
    dgf(1);
    dg(1);
    fo(i,0,k)fd(j,k,0)
if(i+j<=k){
        l=min(g[1][j],f[1][i]);
        g[1][j]-=l,f[1][i]-=l;
    }
    fo(i,0,k)temp+=g[1][i];
    ans+=calc(temp);
printf("%lld",ans);
return 0;
}