奇妙的等式 && 精妙的证明

• 33+43+53=63 （216）

1. 等差数列的和与组合数

1+2+⋯+(n−1)=(n2)

等式的奇妙性在于：建立起等差数列与组合数的关系。

来看一个精妙的证明：

对最后一行任取两个做组合，正好唯一对应于一个黄圆（全部的黄圆即为等式的左端）。遍历所有组合，可正好取。

2. 2 的幂次与组合数的和

(n0)+(n1)+⋯+(nn)=2n
证明很简单：
(1+1)2=(n0)1n10+⋯

3. 移动数字使等式成立

26−63=1

4. (x+1)(x−1)=x2−1 的证明

使用演绎法证明的思路为：

• 或者对等式左边进行展开
• 或者对等式右端进行配方： x2−x+x−1=(x−1)(x+1)

但是如果有人告诉你，使用归纳法的思路：

• x=0 代入，等式两端都是 -1
• x=1 ，两边都是 0
• x=2 ，两边都是 3

是否可以由此说明， (x+1)(x−1)=x2−1 位恒等式呢？

是可以的，那为什么呢？

如果 (x+1)(x−1)=x2−1 不是恒等式，它就是一个不超过 2 次的方程，这种方程至多有两个根（包括重根在内），现在竟有 3 个“根”了，那它就不是一个二次方程或一次方程，所以是恒等式。

按照此道理，要判断一个最高次为 3 的灯饰是否为恒等式，只需用 4 个（不同的）数验证即可。

• 4 次用 5 个值；
• 5 次用 6 个值；
• n 次用 n+1 个值；

这就叫用举例的方法验证恒等式，或者叫多点例证法（归纳）；

5. 化简 x=1+1+1+1+x−−−−−√−−−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√

将等式右边的部分 1+1+1+1+x−−−−−√−−−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√ ，整体代入到原式的第二个 x ，循环往复，将原始等式最终转换为无穷级数形式。

也即：

x=1+1+1+1+…−−−−−−√−−−−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√

所以可将 等号右边的，根号下边、加号右边的统一替换为 x （既然是无穷迭代，多一项少一项对结果没有影响），

x=1+x−−−−−√