【BZOJ-3572】世界树 虚树 + 树形DP

时间：2023-12-06 12:30:08

3572: [Hnoi2014]世界树

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Description

世界树是一棵无比巨大的树，它伸出的枝干构成了整个世界。在这里，生存着各种各样的种族和生灵，他们共同信奉着绝对公正公平的女神艾莉森，在他们的信条里，公平是使世界树能够生生不息、持续运转的根本基石。
世界树的形态可以用一个数学模型来描述：世界树中有n个种族，种族的编号分别从1到n，分别生活在编号为1到n的聚居地上，种族的编号与其聚居地的编号相同。有的聚居地之间有双向的道路相连，道路的长度为1。保证连接的方式会形成一棵树结构，即所有的聚居地之间可以互相到达，并且不会出现环。定义两个聚居地之间的距离为连接他们的道路的长度；例如，若聚居地a和b之间有道路，b和c之间有道路，因为每条道路长度为1而且又不可能出现环，所卧a与c之间的距离为2。
出于对公平的考虑，第i年，世界树的国王需要授权m[i]个种族的聚居地为临时议事处。对于某个种族x（x为种族的编号），如果距离该种族最近的临时议事处为y（y为议事处所在聚居地的编号），则种族x将接受y议事处的管辖（如果有多个临时议事处到该聚居地的距离一样，则y为其中编号最小的临时议事处）。
现在国王想知道，在q年的时间里，每一年完成授权后，当年每个临时议事处将会管理多少个种族（议事处所在的聚居地也将接受该议事处管理）。 现在这个任务交给了以智慧著称的灵长类的你：程序猿。请帮国王完成这个任务吧。

Input

第一行为一个正整数n，表示世界树中种族的个数。
接下来n-l行，每行两个正整数x，y，表示x聚居地与y聚居地之间有一条长度为1的双
向道路。接下来一行为一个正整数q，表示国王询问的年数。
接下来q块，每块两行：
第i块的第一行为1个正整数m[i]，表示第i年授权的临时议事处的个数。
第i块的第二行为m[i]个正整数h[l]、h[2]、…、h[m[i]]，表示被授权为临时议事处的聚居地编号（保证互不相同）。

Output

输出包含q行，第i行为m[i]个整数，该行的第j(j=1，2…，，m[i])个数表示第i年被授权的聚居地h[j]的临时议事处管理的种族个数。

Sample Input

10
2 1
3 2
4 3
5 4
6 1
7 3
8 3
9 4
10 1
5
2
6 1
5
2 7 3 6 9
1
8
4
8 7 10 3
5
2 9 3 5 8

Sample Output

1 9
3 1 4 1 1
10
1 1 3 5
4 1 3 1 1

HINT

N<=300000, q<=300000,m[1]+m[2]+…+m[q]<=300000

Source

Solution

同样是虚树+树形DP，然而这个题就很麻烦了

首先建出虚树，然后我们可以进行树形dp，求出每个点最近的关键点（两次DFS）

然后考虑，对于虚树上的一条边，在实际的树上，缩了很多点，那么考虑这些点的问题，需要讨论

1.对于边<a,b>如果belong[a]==belong[b]，那么边<a,b>缩掉的点，全部都被belong[a]（belong[b])管辖

2.对于边<a,b>如果belong[a]!=belong[b]，那么边<a,b>缩掉的点中，有一部分被belong[a]管辖，一部分被belong[b]管辖

对于情况1，非常好处理，至于情况2，我们需要利用倍增，去得到中间这个断点pos，然后转化成情况1去处理

这里还有一个问题，有的子树，完全没在虚树上出现过！需要单独去考虑

这里很显然，这些点，一定和他们的根节点同一个管辖，所以在处理上述的时候，额外记录sz[i]表示，节点i的子树中，没被访问的还有，

在处理一部分点的时候，记得在sz[]中将其减去，然后在最后，把剩余sz[]累加入答案，既可达到全部统计的效果

Code

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#include<cmath>

using namespace std;

void Freopen() {freopen("worldtree.in","r",stdin); freopen("worldtree.out","w",stdout);}

void Fclose() {fclose(stdin); fclose(stdout);}

int read()

{

    int x=,f=; char ch=getchar();

    while (ch<'' || ch>'') {if (ch=='-') f=-; ch=getchar();}

    while (ch>='' && ch<='') {x=x*+ch-''; ch=getchar();}

    return x*f;

}

#define MAXN 300010

int N,M,Q;

struct EdgeNode{int next,to;}edge[MAXN<<];

int head[MAXN],cnt;

void AddEdge(int u,int v) {cnt++; edge[cnt].next=head[u]; edge[cnt].to=v; head[u]=cnt;}

void InsertEdge(int u,int v) {AddEdge(u,v); AddEdge(v,u);}

int dfn[MAXN],t,size[MAXN],deep[MAXN],father[MAXN][];

void DFS(int now,int last)

{

    dfn[now]=++t; size[now]=;

    for (int i=; i<=; i++)

        if (deep[now]>=(<<i)) father[now][i]=father[father[now][i-]][i-];

        else break;

    for (int i=head[now]; i; i=edge[i].next)

        if (edge[i].to!=last)

            {

                father[edge[i].to][]=now;

                deep[edge[i].to]=deep[now]+;

                DFS(edge[i].to,now);

                size[now]+=size[edge[i].to];

            }

}

int LCA(int x,int y)

{

    if (deep[x]<deep[y]) swap(x,y);

    int dd=deep[x]-deep[y];

    for (int i=; i<=; i++)

        if (dd&(<<i)) x=father[x][i];

    for (int i=; i>=; i--)

        if (father[x][i]!=father[y][i])

            x=father[x][i],y=father[y][i];

    if (x==y) return x; else return father[x][];

}

struct RoadNode{int next,to;}road[MAXN<<];

int last[MAXN],tot;

void AddRoad(int u,int v) {tot++; road[tot].next=last[u]; last[u]=tot; road[tot].to=v;}

void InsertRoad(int u,int v) {if (u==v) return; AddRoad(u,v);}

int Dis(int x,int y) {return deep[x]+deep[y]-deep[LCA(x,y)]-deep[LCA(x,y)];}

int sz[MAXN],dfsn[MAXN],belong[MAXN],dp[MAXN],a[MAXN],h[MAXN];

void DFS_1(int now)

{

    sz[now]=size[now];  dfsn[++t]=now;

    for (int i=last[now]; i; i=road[i].next)

        {

            DFS_1(road[i].to);

            if (!belong[road[i].to]) continue;

            int D1=Dis(now,belong[road[i].to]),D2=Dis(now,belong[now]);

            if (!belong[now] || D1<D2 || (D1==D2&&belong[road[i].to]<belong[now]))

                belong[now]=belong[road[i].to];

        }

}

void DFS_2(int now)

{

    for (int i=last[now]; i; i=road[i].next)

        {

            int D1=Dis(road[i].to,belong[now]),D2=Dis(road[i].to,belong[road[i].to]);

            if (!belong[road[i].to] || D1<D2 || (D1==D2&&belong[now]<belong[road[i].to]))

                belong[road[i].to]=belong[now];

            DFS_2(road[i].to);

        }

}

void Work(int a,int b)

{

    int x=b,pos=b;

    for (int i=; i>=; i--) if (deep[father[x][i]]>deep[a]) x=father[x][i];

    sz[a]-=size[x];

    if (belong[a]==belong[b]) {dp[belong[a]]+=size[x]-size[b]; return ;}

    for (int i=; i>=; i--)

        {

            int tmp=father[pos][i];

            if (deep[tmp]<=deep[a]) continue;

            int D1=Dis(belong[a],tmp),D2=Dis(belong[b],tmp);

            if (D1>D2 || (D1==D2&&belong[b]<belong[a])) pos=tmp;

        }

    dp[belong[a]]+=size[x]-size[pos];

    dp[belong[b]]+=size[pos]-size[b];

}

void DP()

{

    DFS_1(); DFS_2();

    for (int i=; i<=t; i++)

        for (int j=last[dfsn[i]]; j; j=road[j].next)

            Work(dfsn[i],road[j].to);

    for (int i=; i<=t; i++) dp[belong[dfsn[i]]]+=sz[dfsn[i]];

    for (int i=; i<=M; i++) printf("%d ",dp[a[i]]); puts("");

    for (int i=; i<=t; i++) dp[dfsn[i]]=belong[dfsn[i]]=sz[dfsn[i]]=last[dfsn[i]]=;

}

int top,tp,st[MAXN];

bool cmp(int x,int y) {return dfn[x]<dfn[y];}

void MakeTree(int M)

{

    t=tot=top=;

    for (int i=; i<=M; i++) belong[a[i]]=a[i];

    sort(h+,h+M+,cmp);

    if (belong[]!=) st[++top]=;

    for (int i=; i<=M; i++)

        {

            int now=h[i],lca=;

            while (top)

                {

                    lca=LCA(now,st[top]);

                    if (top> && deep[lca]<deep[st[top-]])

                        InsertRoad(st[top-],st[top]),top--;

                    else if (deep[lca]<deep[st[top]])

                        {InsertRoad(lca,st[top]); top--; break;}

                    else break;

                }

            if (st[top]!=lca) st[++top]=lca;

            st[++top]=now;

        }

    while (top>) InsertRoad(st[top-],st[top]),top--;

    DP();

}

int main()

{

//  Freopen();

    N=read();

    for (int x,y,i=; i<=N-; i++) x=read(),y=read(),InsertEdge(x,y);

    DFS(,);

    Q=read();

    while (Q--)

        {

            M=read();

            for (int i=; i<=M; i++) a[i]=h[i]=read();

            MakeTree(M);

        }

    return ;

}

写起来细节好多.....恶心死

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