【BZOJ-3572】世界树 虚树 + 树形DP

时间:2023-12-06 12:30:08

3572: [Hnoi2014]世界树

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Description

世界树是一棵无比巨大的树,它伸出的枝干构成了整个世界。在这里,生存着各种各样的种族和生灵,他们共同信奉着绝对公正公平的女神艾莉森,在他们的信条里,公平是使世界树能够生生不息、持续运转的根本基石。
世界树的形态可以用一个数学模型来描述:世界树中有n个种族,种族的编号分别从1到n,分别生活在编号为1到n的聚居地上,种族的编号与其聚居地的编号相同。有的聚居地之间有双向的道路相连,道路的长度为1。保证连接的方式会形成一棵树结构,即所有的聚居地之间可以互相到达,并且不会出现环。定义两个聚居地之间的距离为连接他们的道路的长度;例如,若聚居地a和b之间有道路,b和c之间有道路,因为每条道路长度为1而且又不可能出现环,所卧a与c之间的距离为2。
出于对公平的考虑,第i年,世界树的国王需要授权m[i]个种族的聚居地为临时议事处。对于某个种族x(x为种族的编号),如果距离该种族最近的临时议事处为y(y为议事处所在聚居地的编号),则种族x将接受y议事处的管辖(如果有多个临时议事处到该聚居地的距离一样,则y为其中编号最小的临时议事处)。
现在国王想知道,在q年的时间里,每一年完成授权后,当年每个临时议事处将会管理多少个种族(议事处所在的聚居地也将接受该议事处管理)。 现在这个任务交给了以智慧著称的灵长类的你:程序猿。请帮国王完成这个任务吧。

Input

第一行为一个正整数n,表示世界树中种族的个数。
接下来n-l行,每行两个正整数x,y,表示x聚居地与y聚居地之间有一条长度为1的双
向道路。接下来一行为一个正整数q,表示国王询问的年数。
接下来q块,每块两行:
第i块的第一行为1个正整数m[i],表示第i年授权的临时议事处的个数。
第i块的第二行为m[i]个正整数h[l]、h[2]、…、h[m[i]],表示被授权为临时议事处的聚居地编号(保证互不相同)。

Output

输出包含q行,第i行为m[i]个整数,该行的第j(j=1,2…,,m[i])个数表示第i年被授权的聚居地h[j]的临时议事处管理的种族个数。

Sample Input

10
2 1
3 2
4 3
5 4
6 1
7 3
8 3
9 4
10 1
5
2
6 1
5
2 7 3 6 9
1
8
4
8 7 10 3
5
2 9 3 5 8

Sample Output

1 9
3 1 4 1 1
10
1 1 3 5
4 1 3 1 1

HINT

N<=300000, q<=300000,m[1]+m[2]+…+m[q]<=300000

Source

Solution

同样是虚树+树形DP,然而这个题就很麻烦了

首先建出虚树,然后我们可以进行树形dp,求出每个点最近的关键点(两次DFS)

然后考虑,对于虚树上的一条边,在实际的树上,缩了很多点,那么考虑这些点的问题,需要讨论

1.对于边<a,b>如果belong[a]==belong[b],那么边<a,b>缩掉的点,全部都被belong[a](belong[b])管辖

2.对于边<a,b>如果belong[a]!=belong[b],那么边<a,b>缩掉的点中,有一部分被belong[a]管辖,一部分被belong[b]管辖

对于情况1,非常好处理,至于情况2,我们需要利用倍增,去得到中间这个断点pos,然后转化成情况1去处理

这里还有一个问题,有的子树,完全没在虚树上出现过!需要单独去考虑

这里很显然,这些点,一定和他们的根节点同一个管辖,所以在处理上述的时候,额外记录sz[i]表示,节点i的子树中,没被访问的还有,

在处理一部分点的时候,记得在sz[]中将其减去,然后在最后,把剩余sz[]累加入答案,既可达到全部统计的效果

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
void Freopen() {freopen("worldtree.in","r",stdin); freopen("worldtree.out","w",stdout);}
void Fclose() {fclose(stdin); fclose(stdout);}
int read()
{
int x=,f=; char ch=getchar();
while (ch<'' || ch>'') {if (ch=='-') f=-; ch=getchar();}
while (ch>='' && ch<='') {x=x*+ch-''; ch=getchar();}
return x*f;
}
#define MAXN 300010
int N,M,Q;
struct EdgeNode{int next,to;}edge[MAXN<<];
int head[MAXN],cnt;
void AddEdge(int u,int v) {cnt++; edge[cnt].next=head[u]; edge[cnt].to=v; head[u]=cnt;}
void InsertEdge(int u,int v) {AddEdge(u,v); AddEdge(v,u);}
int dfn[MAXN],t,size[MAXN],deep[MAXN],father[MAXN][];
void DFS(int now,int last)
{
dfn[now]=++t; size[now]=;
for (int i=; i<=; i++)
if (deep[now]>=(<<i)) father[now][i]=father[father[now][i-]][i-];
else break;
for (int i=head[now]; i; i=edge[i].next)
if (edge[i].to!=last)
{
father[edge[i].to][]=now;
deep[edge[i].to]=deep[now]+;
DFS(edge[i].to,now);
size[now]+=size[edge[i].to];
}
}
int LCA(int x,int y)
{
if (deep[x]<deep[y]) swap(x,y);
int dd=deep[x]-deep[y];
for (int i=; i<=; i++)
if (dd&(<<i)) x=father[x][i];
for (int i=; i>=; i--)
if (father[x][i]!=father[y][i])
x=father[x][i],y=father[y][i];
if (x==y) return x; else return father[x][];
}
struct RoadNode{int next,to;}road[MAXN<<];
int last[MAXN],tot;
void AddRoad(int u,int v) {tot++; road[tot].next=last[u]; last[u]=tot; road[tot].to=v;}
void InsertRoad(int u,int v) {if (u==v) return; AddRoad(u,v);} int Dis(int x,int y) {return deep[x]+deep[y]-deep[LCA(x,y)]-deep[LCA(x,y)];}
int sz[MAXN],dfsn[MAXN],belong[MAXN],dp[MAXN],a[MAXN],h[MAXN];
void DFS_1(int now)
{
sz[now]=size[now]; dfsn[++t]=now;
for (int i=last[now]; i; i=road[i].next)
{
DFS_1(road[i].to);
if (!belong[road[i].to]) continue;
int D1=Dis(now,belong[road[i].to]),D2=Dis(now,belong[now]);
if (!belong[now] || D1<D2 || (D1==D2&&belong[road[i].to]<belong[now]))
belong[now]=belong[road[i].to];
}
}
void DFS_2(int now)
{
for (int i=last[now]; i; i=road[i].next)
{
int D1=Dis(road[i].to,belong[now]),D2=Dis(road[i].to,belong[road[i].to]);
if (!belong[road[i].to] || D1<D2 || (D1==D2&&belong[now]<belong[road[i].to]))
belong[road[i].to]=belong[now];
DFS_2(road[i].to);
}
}
void Work(int a,int b)
{
int x=b,pos=b;
for (int i=; i>=; i--) if (deep[father[x][i]]>deep[a]) x=father[x][i];
sz[a]-=size[x];
if (belong[a]==belong[b]) {dp[belong[a]]+=size[x]-size[b]; return ;}
for (int i=; i>=; i--)
{
int tmp=father[pos][i];
if (deep[tmp]<=deep[a]) continue;
int D1=Dis(belong[a],tmp),D2=Dis(belong[b],tmp);
if (D1>D2 || (D1==D2&&belong[b]<belong[a])) pos=tmp;
}
dp[belong[a]]+=size[x]-size[pos];
dp[belong[b]]+=size[pos]-size[b];
}
void DP()
{
DFS_1(); DFS_2();
for (int i=; i<=t; i++)
for (int j=last[dfsn[i]]; j; j=road[j].next)
Work(dfsn[i],road[j].to);
for (int i=; i<=t; i++) dp[belong[dfsn[i]]]+=sz[dfsn[i]];
for (int i=; i<=M; i++) printf("%d ",dp[a[i]]); puts("");
for (int i=; i<=t; i++) dp[dfsn[i]]=belong[dfsn[i]]=sz[dfsn[i]]=last[dfsn[i]]=;
}
int top,tp,st[MAXN];
bool cmp(int x,int y) {return dfn[x]<dfn[y];}
void MakeTree(int M)
{
t=tot=top=;
for (int i=; i<=M; i++) belong[a[i]]=a[i];
sort(h+,h+M+,cmp);
if (belong[]!=) st[++top]=;
for (int i=; i<=M; i++)
{
int now=h[i],lca=;
while (top)
{
lca=LCA(now,st[top]);
if (top> && deep[lca]<deep[st[top-]])
InsertRoad(st[top-],st[top]),top--;
else if (deep[lca]<deep[st[top]])
{InsertRoad(lca,st[top]); top--; break;}
else break;
}
if (st[top]!=lca) st[++top]=lca;
st[++top]=now;
}
while (top>) InsertRoad(st[top-],st[top]),top--;
DP();
}
int main()
{
// Freopen();
N=read();
for (int x,y,i=; i<=N-; i++) x=read(),y=read(),InsertEdge(x,y);
DFS(,);
Q=read();
while (Q--)
{
M=read();
for (int i=; i<=M; i++) a[i]=h[i]=read();
MakeTree(M);
}
return ;
}

写起来细节好多.....恶心死