题意
题目描述
聪聪和可可是兄弟俩，他们俩经常为了一些琐事打起来，例如家中只剩下最后一根冰棍而两人都想吃、两个人都想玩儿电脑（可是他们家只有一台电脑）……遇到这种问题，一般情况下石头剪刀布就好了，可是他们已经玩儿腻了这种低智商的游戏。
他们的爸爸快被他们的争吵烦死了，所以他发明了一个新游戏：由爸爸在纸上画n个“点”，并用n-1条“边”把这n个“点”恰好连通（其实这就是一棵树）。并且每条“边”上都有一个数。接下来由聪聪和可可分别随即选一个点（当然他们选点时是看不到这棵树的），如果两个点之间所有边上数的和加起来恰好是3的倍数，则判聪聪赢，否则可可赢。
聪聪非常爱思考问题，在每次游戏后都会仔细研究这棵树，希望知道对于这张图自己的获胜概率是多少。现请你帮忙求出这个值以验证聪聪的答案是否正确。
输入输出格式
输入格式：
输入的第1行包含1个正整数n。后面n-1行，每行3个整数x、y、w，表示x号点和y号点之间有一条边，上面的数是w。
输出格式：
以即约分数形式输出这个概率（即“a/b”的形式，其中a和b必须互质。如果概率为1，输出“1/1”）。
输入输出样例
说明
【样例说明】
13组点对分别是(1,1) (2,2) (2,3) (2,5) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (4,3) (4,4) (5,2) (5,3) (5,5)。
【数据规模】
对于100%的数据，n<=20000。
给一棵树，求这棵树上任选两个点(注意可以相同)使得它们距离为3的倍数的概率。
分析
大众点分治
点分治每次求出到当前根距离除以3余0,1,2的点的数量\(t_0,t_1,t_2\)，然后答案就是\(t_0∗(t_0-1)+t_0+2∗t_1∗t_2\)。
这个公式是这么推出来的.
每一条长度余2 和长度为1 的路径,就可以被统计一次
又因为可以交换顺序 所以需要乘上2
然后就是 所有的距离模3 已经为0 的点可以组成的路径.
当然 直接到根结点距离为0 的需要单独拎出来.
概率就是总方案数除以\(n^2\)
时间复杂度\(O(n \log n)\)
小众树形DP
显然可以\(f[u,0/1/2]\)表示子树到根的距离模3等于0/1/2的点的个数，然后用卷积统计答案。时间复杂度\(O(n)\)
代码
#include<bits/stdc++.h>
#define rg register
#define il inline
#define co const
template<class T>il T read(){
rg T data=0,w=1;rg char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
while(isdigit(ch)) data=data*10+ch-'0',ch=getchar();
return data*w;
}
template<class T>il T read(rg T&x) {return x=read<T>();}
typedef long long ll;
using namespace std;
co int N=2e4+1;
struct edge{int to,next,w;}a[N*2];
int n,head[N],cnt,root,sum,vis[N],sz[N],f[N],dep[N],t[3],ans;
int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
void getroot(int u,int fa){
sz[u]=1,f[u]=0;
for(int e=head[u],v;e;e=a[e].next){
if((v=a[e].to)==fa||vis[v]) continue;
getroot(v,u),sz[u]+=sz[v],f[u]=max(f[u],sz[v]);
}
f[u]=max(f[u],sum-sz[u]);
if(f[u]<f[root]) root=u;
}
void getdeep(int u,int fa){
++t[dep[u]%3];
for(int e=head[u],v;e;e=a[e].next){
if((v=a[e].to)==fa||vis[v]) continue;
dep[v]=dep[u]+a[e].w,getdeep(v,u);
}
}
int calc(int u,int d0){
dep[u]=d0,memset(t,0,sizeof t);
getdeep(u,0);
return t[0]*t[0]+2*t[1]*t[2];
}
void solve(int u){
ans+=calc(u,0),vis[u]=1;
for(int e=head[u],v;e;e=a[e].next){
if(vis[v=a[e].to]) continue;
ans-=calc(v,a[e].w);
sum=sz[v],root=0,getroot(v,0);
solve(root);
}
}
int main(){
read(n);
for(int i=1,u,v,w;i<n;++i){
read(u),read(v),read(w);
a[++cnt]=(edge){v,head[u],w},head[u]=cnt;
a[++cnt]=(edge){u,head[v],w},head[v]=cnt;
}
f[0]=sum=n,getroot(1,0);
solve(root);
int g=gcd(ans,n*n);
printf("%d/%d\n",ans/g,n*n/g);
return 0;
}