【十大经典数据挖掘算法】系列
我特地把PageRank作为【十大经典数据挖掘算法】系列的收尾篇，是因为本人是Google脑残粉。因了PageRank而Google得以成立，因了Google而这个世界变得好了那么一点点。
1. 引言
PageRank是Sergey Brin与Larry Page于1998年在WWW7会议上提出来的，用来解决链接分析中网页排名的问题。在衡量一个网页的排名，直觉告诉我们：
- 当一个网页被更多网页所链接时，其排名会越靠前；
- 排名高的网页应具有更大的表决权，即当一个网页被排名高的网页所链接时，其重要性也应对应提高。
对于这两个直觉，PageRank算法所建立的模型非常简单：一个网页的排名等于所有链接到该网页的网页的加权排名之和：
\begin{equation}
PR_i = \sum_{(j,i)\in E} \frac{PR_j}{O_j}
\label{eq:pr1}
\end{equation}
\(PR_i\)表示第\(i\)个网页的PageRank值，用以衡量每一个网页的排名；若排名越高，则其PageRank值越大。网页之间的链接关系可以表示成一个有向图\(G=(V,E)\)，边\((j,i)\)代表了网页\(j\)链接到了网页\(i\)；\(O_j\)为网页\(j\)的出度，也可看作网页\(j\)的外链数（ the number of out-links）。
假定\(P=(PR_1, PR_2, \cdots, PR_n)^T\)为n维PageRank值向量，\(A\)为有向图\(G\)所对应的转移矩阵，
\[
A_{ij}=\left \{
{
\matrix {
\frac{1}{O_i} & if \ (i,j) \in E \cr
0 & otherwise
}
}
\right.
\]
\(n\)个等式\eqref{eq:pr1}可改写为矩阵相乘：
\begin{equation}
P = A^T P
\label{eq:pr2}
\end{equation}
但是，为了获得某个网页的排名，而需要知道其他网页的排名，这不就等同于“是先有鸡还是先有蛋”的问题了么？幸运的是，PageRank采用power iteration方法破解了这个问题怪圈。欲知详情，请看下节分解。
2. 求解
为了对上述及以下求解过程有个直观的了解，我们先来看一个例子，网页链接关系图如下图所示：
那么，矩阵\(A\)即为
所谓power iteration，是指先给定一个\(P\)的初始值\(P^0\)，然后通过多轮迭代求解:
\[
P^k = A^TP^{k-1}
\]
最后收敛于\(||P^k-P^{k-1}|| < \xi\)，即差别小于某个阈值。我们发现式子\eqref{eq:pr2}为一个特征方程（characteristic equation），并且解\(P\)是当特征值（eigenvalue）为\(1\)时的特征向量（eigenvector）。为了满足\eqref{eq:pr2}是有解的，则矩阵\(A\)应满足如下三个性质：
- stochastic matrix，则行至少存在一个非零值，即必须存在一个外链接（没有外链接的网页被称为dangling pages）；
- 不可约（irreducible），即矩阵\(A\)所对应的有向图\(G\)必须是强连通的，对于任意两个节点\(u,v \in V\)，存在一个从\(u\)到\(v\)的路径；
- 非周期性（aperiodic），即每个节点存在自回路。
显然，一般情况下矩阵\(A\)这三个性质均不满足。为了满足性质stochastic matrix，可以把全为0的行替换为\(\mathrm{e}/n\)，其中\(e\)为单位向量；同时为了满足性质不可约、非周期，需要做平滑处理：
\[
P=\left( (1-d)\frac{\mathrm{E}}{n} + dA^T\right)
\]
其中，\(d\)为 damping factor，常置为0与1之间的一个常数；\(E\)为单位阵。那么，式子\eqref{eq:pr1}被改写为
\[
PR_i = (1-d) + d\sum_{(j,i)\in E} \frac{PR_j}{O_j}
\]
3. 参考资料
[1] Bing Liu and Philip S. Yu, "The Top Ten Algorithms in Data Mining" Chapter 6.