【十大经典数据挖掘算法】系列
1. 引言
*数据挖掘会议ICDM于2006年12月评选出了数据挖掘领域的十大经典算法：C4.5, k-Means, SVM, Apriori, EM, PageRank, AdaBoost, kNN, Naïve Bayes与 CART。 以前看过关于这些数据挖掘算法，但对背后数学原理未做过多探究，因而借此整理以更深入地理解这些算法。
本文讨论的kNN算法是监督学习中分类方法的一种。所谓监督学习与非监督学习，是指训练数据是否有标注类别，若有则为监督学习，若否则为非监督学习。监督学习是根据输入数据（训练数据）学习一个模型，能对后来的输入做预测。在监督学习中，输入变量与输出变量可以是连续的，也可以是离散的。若输入变量与输出变量均为连续变量，则称为回归；输出变量为有限个离散变量，则称为分类；输入变量与输出变量均为变量序列，则称为标注[2]。
2. kNN算法
kNN算法的核心思想非常简单：在训练集中选取离输入的数据点最近的k个邻居，根据这个k个邻居中出现次数最多的类别（最大表决规则），作为该数据点的类别。
算法描述
训练集\(T = \lbrace (x_1,y_1),(x_2,y_2), \cdots ,(x_N,y_N) \rbrace\)，其类别\(y_i \in \lbrace c_1,c_2, \cdots ,c_K \rbrace\)，训练集中样本点数为\(N\)，类别数为\(K\)。输入待预测数据\(x\)，则预测类别
\begin{equation}
y = \arg \mathop {\max }\limits_{c_j} \sum\limits_{x_i \in N_k(x)} I(y_i = c_j),\ i = 1,2, \cdots ,N; \ j = 1,2, \cdots ,K
\label{eq:obj}
\end{equation}
其中，涵盖\(x\)的k邻域记作\(N_k(x)\)，当\(y_i = c_j\)时指示函数\(I=1\)，否则\(I=0\)。
分类决策规则
kNN学习模型：输入\(X\)，通过学习得到决策函数：输出类别\(Y=f(X)\)。假设分类损失函数为0-1损失函数，即分类正确时损失函数值为0，分类错误时则为1。假如给\(x\)预测类别为\(c_j\)，即\(f(X)=c_j\)；同时由式子\eqref{eq:obj}可知k邻域的样本点对学习模型的贡献度是均等的，则kNN学习模型误分类率为
\begin{equation}
{1 \over k}\sum\limits_{x_i \in N_k(x)} {I(y_i \ne f(x_i))} = {1 \over k}\sum\limits_{xi \in N_k(x)} {I(y_i \ne c_j)} = 1 - {1 \over k}\sum\limits_{xi \in N_k(x)} {I(y_i = c_j)}
\end{equation}
若要最小化误分类率，则应
\[\mathop {\max }\limits_{{c_j}} \sum\limits_{{x_i} \in {N_k}(x)} I ({y_i} = {c_j})\]
所以，最大表决规则等价于经验风险最小化。
存在问题
k值得选取对kNN学习模型有着很大的影响。若k值过小，预测结果会对噪音样本点显得异常敏感。特别地，当k等于1时，kNN退化成最近邻算法，没有了显式的学习过程。若k值过大，会有较大的邻域训练样本进行预测，可以减小噪音样本点的减少；但是距离较远的训练样本点对预测结果会有贡献，以至于造成预测结果错误。下图给出k值的选取对于预测结果的影响：
前面提到过，k邻域的样本点对预测结果的贡献度是相等的；但距离更近的样本点应有更大的相似度，其贡献度应比距离更远的样本点大。可以加上权值\(w_i = 1/\left\| {x_i - x} \right\|\)进行修正，则最大表决原则变成：
\[\mathop {\max }\limits_{{c_j}} \sum\limits_{{x_i} \in {N_k}(x)} w_i*I ({y_i} = {c_j})\]
3. 参考资料
[1] Michael Steinbach and Pang-Ning Tan, The Top Ten Algorithms in Data Mining.
[2] 李航，《统计学习方法》.