顺序查找和二叉查找详解

0.提要勾玄

 

本文主要先介绍查找的概念，然后介绍最简单的查找算法——顺序查找，最后介绍二分查找。

1. 何为查找?

 

我们平常做很多事情，都会涉及到大量的增删改查操作。比如一个用户管理系统，会涉及用户注册(增)、用户注销(删)、修改用户信息(改)、查找用户(查)，其中“删”和“改”要依赖“查”操作。

下面重点来介绍一下查找这个重要的操作。

现给你一个点名册，让你查找一个学生。我们的做法是：根据这个学生的姓名或者学号，在点名册中一个个的比对，直到找到一个学号或姓名符合条件的学生为止，否则就可以说点名册中没有该学生。

点名册是一个集合，也可称之为查找表，其中有大量同一类型的元素，也可称之为记录——学生。学生中可能有重名的，但不会有重学号的，也即，一个学号唯一对应一个学生，一个姓名可能对应多个学生。如果我们根据学号找，只要点名册中有，那么就可以找到唯一一个符合条件的学生。如果我们根据姓名找，那么我们就可能找到多个符合条件的学生。

像学号和姓名这种可以标识一个学生的值，我们称之为关键字，学号这种唯一标识一个元素的值为主关键字，姓名这种可能标识若干元素的值为次关键字。当集合中的元素只有一个数据项时，其关键字即为该数据元素的值。

比如数组[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]，其元素只有一个数据项，关键字即元素值本身;而点名册中的元素——学生，却有三个数据项——学号、姓名、专业，其中学号、姓名为关键字。

如果你学过数据库，那么以上概念很容易理解。

所谓查找，通俗点说就是在一大群元素(集合 / 查找表)中，依照某个查找依据，找一个特定的、符合要求的元素(记录)。

• 如果找到了，即查找成功，返回元素的信息;
• 如果找遍所有元素还没找到，说明这群元素中没有符合要求的元素，即查找失败，返回一个可以明显标记失败的值，比如“空记录”或“空指针”。

所谓查找依据，就是给定一个目标值，比较该目标值和关键字是否相等。这就要求目标值和关键字的类型要相同。

2. 顺序查找(Sequential Search)

 

顺序查找是我们最容易想到的查找方式，上面的点名册例子中，查找一个学生就是用的就是顺序查找。

顺序查找思想：

 

从集合中的第一个元素开始至最后一个元素，逐个比较其关键字和目标值。

• 若某个关键字和目标值相等，则查找成功，返回所查元素的信息;
• 若没有一个关键字和目标值相等，则查找失败，返回失败标识值。

比如，给定一个数组[11, 8, 4, 6, 9, 1, 16, 22, 14, 10]，给定目标值 key，若找到，则返回其数组下标;否则，返回 -1：

只需从下标 0 开始遍历整个数组进行比较即可：

1. /** 
2.  * @description: 从头到尾遍历整个数组，查找目标值 key，返回其下标 index         
3.  * @param {int} *array 数组 为了说明问题简单，这里的数组元素不重复 
4.  * @param {int} length 数组长度 
5.  * @param {int} key 目标值 
6.  * @return {int} 如果找到，返回目标值下标；否则返回 -1 
7.  */ 
8. int sequential_search(int *array, int length, int key) 
9. { 
10.     for (int index = 0; index < length; index++) { 
11.         if (array[index] == key) { 
12.             return index; 
13.         } 
14.     } 
15.     return -1; 
16. } 

以上代码存在可优化的地方，因为每次比较之前要判断数组是否越界：index < length，增加哨兵则可以避免这一步比较。

所谓哨兵，是一种形象的说法，将其放在数组头或尾，用来标记结束，当遍历到“哨兵”时，就说明数组中没有目标值，查找失败。

为此，我们要特意在数组中留出一个位置给“哨兵”，并且把哨兵的值设置为目标值：

像这样，从另一侧往“哨兵”一侧遍历。如果数组中有目标值，则一定能找到;如果数组中没有目标值，那么就会遍历至“哨兵”而停下，因为“哨兵”的值就是目标值，所以返回下标为 0 时，意味着查找失败。

1. /** 
2.  * @description: 顺序查找改进，增加哨兵 
3.  * @param {int} *array array[0] 不存放数据元素，充当哨兵 
4.  * @param {int} length 数组长度 
5.  * @param {int} key 目标值 
6.  * @return {int} 返回0，即哨兵下标，则查找失败；否则成功 
7.  */ 
8. int sequential_search_pro(int *array, int length, int key) 
9. { 
10.     array[0] = key; // 哨兵 
11.     int index = length - 1; 
12.     while (array[index] != key) { 
13.         index--; 
14.     } 
15.     return index; 
16. } 

在一侧放置“哨兵”的做法避免了每次遍历进行的数组越界检查，这样能提高效率。你可能会问就一句比较能提高多少效率?蚊子腿再小也是肉，而且当数据量很多时，这些“蚊子腿”就会积累成“大象腿”了。

以上就是顺序查找的基本内容，虽然加了“哨兵”可以小小地优化一下，但当数据量极大时，仍然改变不了这种查找方法效率低下的事实。

因为我们是从一头到另一头“顺序遍历”，所以有时候可能目标值就在第一个位置，只查找一次就找到了，仿佛是天选之子;但有时候可能目标值在最后一个位置，那就需要把所有元素都查找一遍才行，当有千万、亿条数据时，这种就太可怕了。

当然，优点也有：算法简单好理解、适合数据量小的情况使用(使用时尽量把常用数据排在前面，这样可以提高效率)。

3. 二分查找(Binary Search)

 

回到上面举得那个点名册的例子，那样一个个地找学号或姓名实在是太慢了，有没有什么更快的方法呢?

其实，在日常生活中的点名册更多的是已排序的，比如按姓氏首字母、按学号大小排序，这样一来，在找名字或找学号的时候就能有一个大致的区域了，而不必从头到尾一个个地找。

所以，排好序的集合是便于查找的。下面介绍一种利用已排序的查找——二分查找(或折半查找)。

所谓二分查找，关键在“二分”“折半”上，顾名思义，不断将集合进行二分(折半)拆分，以此将集合拆分几个区域，然后在某个区域中查找。前提条件是集合中的元素是有序的，元素必须采用顺序表(数组)存储。

二分查找思想：

在有序顺序表中，取中间元素，将有序顺序表分为左半区和右半区，比较中间元素的关键字和目标值 key 是否相等：

1.如果相等，则查找成功，返回中间元素的信息;

2.如果不相等，说明目标值 key 在左半区或右半区：

• 若目标值 key小于中间元素的关键字，则来到左半区;
• 若目标值 key 大于中间元素的关键字，则来到右半区;

不断在各半区中重复上述过程，直到查找成功;否则，则集合中无目标值，查找失败。

下面结合实例，看一下具体过程。

这是一个有序的数组，我们要查找 33：

要想将数组分为左右半区，需要三个标致：最左标志位 left、最右标志位 right和中间标志位 mid。其中 mid = (left + right) / 2，确定了 mid 的值之后，与目标值 key进行比较：

中间值 28 小于目标值key，说明目标值在右半区，所以更新三个标志位，进入右半区，然后继续比较：

中间值 39 大于目标值key，更新三个标志位，进入左半区：

中间值 30 小于目标值key，更新三个标志位，进入右半区：

中间值 33 等于目标值key，返回其下标，即 mid。

具体代码如下：

1. /** 
2.  * @description: 二分查找 
3.  * @param {int} *array 有序数组 
4.  * @param {int} length 数组长度 
5.  * @param {int} key 目标值，和关键字比较 
6.  * @return {int} 返回目标值下标；若查找失败，则返回 -1 
7.  */ 
8. int binary_search(int *array, int length, int key) 
9. { 
10.     int left, mid, right; 
11.     left = 0; 
12.     right = length - 1; 
13.     while (left <= right) { 
14.         mid = (left + right) / 2; // 中间下标 
15.         if (key < array[mid]) { // key 比中间值小 
16.             right = mid - 1; // 更新最右下标，进入左半区 
17.         } else if (key > array[mid]) { // key 比中间值大 
18.             left = mid + 1; // 更新最左下标，进入右半区 
19.         } else { 
20.             return mid; // key 等于中间值，返回其下标 
21.         } 
22.     } 
23.     return -1; //未找到，返回 -1 
24. } 

二分查找的精髓在于中间标志位 mid 把有序顺序表一分为二，通过比较中间值和目标值的大小关系，能够筛选掉一半的数据，相当于减少了一半的工作量。

上例只比较了四次，就找到了目标值，如果使用顺序查找，则需要八次。

可以看出，二分查找的效率相较于顺序查找有了很大提高，但美中不足的是二分查找必须要求元素有序。在元素的有序状态不变化或不经常变化的情景下，二分查找非常合适;但是如果涉及到频繁的插入和删除操作，就意味着元素的有序状态会被频繁破坏，这样一来，我们就不得不花精力去维护元素的有序状态，自然又会降低效率，所以要根据实际情况灵活取舍。

以上就是顺序查找和二分查找的内容。

完整代码请移步至 GitHub[1] | Gitee[2] 获取。

参考资料

 

[1]GitHub: https://github.com/xingrenguanxue/Simple-DS-and-Easy-Algo

[2]Gitee: https://gitee.com/xingrenguanxue/Simple-DS-and-Easy-Algo

 

原文链接：https://mp.weixin.qq.com/s/YXCOdxWHgU96jkZ8wh0kjA