1.1 优先队列和堆
优先队列（Priority Queue）：特殊的“队列”，取出元素顺序是按元素优先权（关键字）大小，而非元素进入队列的先后顺序。
若采用数组或链表直接实现优先队列，代价高。依靠数组，基于完全二叉树结构实现优先队列，即堆效率更高。一般来说堆代指二叉堆。
优先队列的完全二叉树（堆）表示
1.2 堆
堆序性： 父节点元素值比孩子节点大（小）
- 最大堆(MaxHeap), 也称“大顶堆”：根节点为最大值；
- 最小堆(MinHeap), 也称“小顶堆” ：根节点为最小值。
通常以最大堆为例。 最小堆实现，直接把最大堆元素值取负。
二、最大堆实现
2.1 最大堆操作
最大堆（MaxHeap）数据结构实际为完全二叉树，每个结点的元素值不小于其子结点的元素值。
其主要操作有：
- MaxHeap InitializeHeap( int MaxSize )：初始化一个空的最大堆。
- Boolean IsFull( MaxHeap H )：判断最大堆H是否已满。
- Boolean IsEmpty( MaxHeap H )：判断最大堆H是否为空。
- Insert( MaxHeap H, ElementType X )：将元素X插入最大堆H。
- ElementType DeleteMax( MaxHeap H )：返回H中最大元素(高优先级)。
核心操作为恢复堆序性：在堆中执行了可能违反堆序性的简单修改后，需通过修改堆确保重新满足堆序性。有两种情况：
- 自底向上reheapify（上滤，swim）: 当某个节点的优先级增加时（或在堆的底部添加一个新节点）时，必须向上遍历调整堆以恢复堆序。
- 自顶向下reheapify（下滤, sink）：当节点优先级减少（变小）时（例如，如果用键较小的新节点替换根上的节点），必须向下遍历调整堆以恢复堆顺。
可以先实现这两个基本辅助操作，然后使用它们来实现插入和删除最大值。其操作如下图所示：
插入-插入元素索引上移，父节点值下移；
删除-孩子节点值上移，末尾元素索引下移（降序插入排序，右边有序，直到找到一个小于它的元素）；
2.2 最大堆C实现
2.2.1 基本操作
声明堆结构
#include <stdlib.h> #include <stdIo.h> typedef int ElementType; typedef struct HNode *Heap; /* 堆的类型定义 */ struct HNode { ElementType *Data; /* 存储元素的数组 */ int Size; /* 堆中当前元素个数 */ int Capacity; /* 堆的最大容量 */ }; typedef Heap MaxHeap; /* 最大堆 */ #define MAXDATA 1000000 /* 该值应根据具体情况定义为大于堆中所有可能元素的值 */
初始化堆
MaxHeap InitializeHeap( int MaxSize ) { /* 创建容量为MaxSize的空的最大堆 */ MaxHeap H = (MaxHeap)malloc(sizeof(struct HNode)); /* 多一个元素存放"哨兵" */ H->Data = (ElementType *)malloc((MaxSize+1)*sizeof(ElementType)); H->Size = 0; H->Capacity = MaxSize; H->Data[0] = MAXDATA; /* 定义"哨兵"为大于堆中所有可能元素的值*/ return H; }
判是否满堆，以及是否为空
bool IsFull( MaxHeap H ) { return (H->Size == H->Capacity); } bool IsEmpty( MaxHeap H ) { return (H->Size == 0); }
2.2.2 最大堆的插入
将新增结点插入到，从其父结点到根结点的有序序列中 ( 完全二叉树，插入时间复杂度O(logN) ）
一步步往上调整（上滤）
void Insert( MaxHeap H, ElementType X ) { /* 将元素X插入最大堆H，其中H->Data[0]已经定义为哨兵 */ int i; /* 首先判断，堆是否已满。已满则结束 */ if ( IsFull(H) ) { printf("最大堆已满"); return; } /* 若堆未满，i指向堆末尾的下一个位置(空穴，当前size+1)，准备插入X */ i = ++H->Size; /* 类似插入排序， */ /* 若X 大于 其父节点值，则将父节点值下移至位置i， i位置(空穴）移到父节点位置[i/2] */ for ( ; H->Data[i/2] < X; i /= 2 ) H->Data[i] = H->Data[i/2]; /* 上滤X */ H->Data[i] = X; /* 将X插入 */ /* 若X是当前堆中最大元素，那么会在堆顶时（比哨兵小）终止上移 */ }
2.2.3 最大堆的删除
删除位置-根结点，返回堆顶（最大值）元素，并调整堆使其保持堆序性（少了一个元素）。
ElementType DeleteMax( MaxHeap H ) { /* 从最大堆H中取出键值为最大的元素，并删除一个结点 */ int Parent, Child; /* 指针 */ ElementType MaxItem, X; if ( IsEmpty(H) ) { printf("最大堆已为空"); /* 若堆已空，则结束（没得删） */ return ERROR; } MaxItem = H->Data[1]; /* 取出根结点存放的最大值 */ /* 用最大堆中最后一个元素X，从根结点开始，向上过滤下层结点 */ X = H->Data[H->Size--]; /* 相当于删掉末尾元素位置，故当前堆size要减1*/ /* 迭代地将X和其更大的孩子节点值作比较，并调整位置（从根节点开始，给X找个位置） */ /* Parent*2 <= H->Size判断是否有左儿子(有无孩子)，若无则超出堆空间，跳出循环，直接把X放Parent */ for ( Parent = 1; Parent*2 <= H->Size; Parent = Child ) { /* 找到当前更大的孩子节点*/ Child = Parent * 2; /* 令Child为左儿子，经过外层for循环判断，Child只能 <= Parent */ /* 若有右儿子((Child < H->Size))，则让让Child指向左右子结点的较大者 */ if ( (Child != H->Size) && (H->Data[Child] < H->Data[Child+1]) ) Child++; /* 将末尾元素X和Child的值比较，若X >= Child值则结束（有序了）*/ /* 若X < Child值 (Child更大)，则将Child值放在位置Parent，并将Parent位置移到Child位置 */ if ( X >= H->Data[Child] ) break; /* 找到了合适位置 */ else /* Child元素上移，X移动到下一层（Parent = Child），继续和其孩子节点比较 */ H->Data[Parent] = H->Data[Child]; } H->Data[Parent] = X; return MaxItem; }
自顶向下，找到更大的孩子节点（孩子不一定是2个，也可能只有1个），并和末尾元素比较
若孩子更小或等于则不动，若孩子更大则将孩子值上移。末尾元素索引下移-下滤
2.2.4 最大堆的建立
将已经存在的N个元素，按最大堆的要求存放在一个一维数组中
方法1：通过插入操作，将N个元素一个个相继插入到一个初始为空的堆中去，其时间代价最大为O(N logN)。
方法2：在线性时间复杂度O(N)下，建立最大堆。
- 将N个元素按输入顺序存入，先满足完全二叉树的结构特性
- 调整各结点位置，以满足最大堆的有序特性
分析：该如何调整堆？
在删除最大值操作中，末尾元素放置于堆顶，此时其左子树和右子树均为堆。其调整思路为，不断地找更大的孩子调上来，自己下沉（下滤操作）。
但是，如上图左子图所示，初始化的堆并不满足堆序性（对79而言，其左右均不是堆，其他节点也是这个情况），似乎不能直接使用删除最大值操作。
实际可以逆向思维，找到最小满足该情况的例子：
从倒数第一个有儿子的节点开始（末尾节点的父亲，此节点的左右肯定是堆-叶节点），逆序执行（自底向上，逆层序遍历）下滤操作。这样当目标节点的左子树和右子树都为堆时，就可以自然地复用删除最大值操作
void PercolateDown( MaxHeap H, int p ) { /* 下滤：将H中以H->Data[p]为根的子堆调整为最大堆 */ int Parent, Child; ElementType X = H->Data[p]; /* 取出根结点存放的值 */ for ( Parent=p; Parent*2<=H->Size; Parent=Child ) { Child = Parent * 2; if ( (Child!=H->Size) && (H->Data[Child]<H->Data[Child+1]) ) Child++; /* Child指向左右子结点的较大者 */ if ( X >= H->Data[Child] ) break; /* 找到了合适位置 */ else /* 下滤X */ H->Data[Parent] = H->Data[Child]; } H->Data[Parent] = X; } void BuildHeap( MaxHeap H ) { /* 调整H->Data[]中的元素，使满足最大堆的有序性 */ /* 这里假设所有H->Size个元素已经存在H->Data[]中 */ int i; /* 从最后一个结点的父节点开始，到根结点1 */ for ( i = H->Size/2; i > 0; i-- ) PercolateDown( H, i ); }
分析
倒数第2层最多交换1次， 其余节点的交换次数此时按其深度线性递增（节点数按2的对数下降）
基于下滤操作的删除最大值实现：
ElementType DeleteMax( MaxHeap H ) { /* 从最大堆H中取出键值为最大的元素，并删除一个结点 */ ElementType MaxItem = H->Data[1]; /* 取出根结点存放的最大值 */ H->Data[1] = H->Data[H->Size--] /* 取出根结点存放的最大值 */ PercolateDown(H, 1); /* 从根结点开始，向上过滤下层结点（末尾节点下滤） */ return MaxItem; }
可知，删除最大值中的调整操作是BuildHeap的特例。此外，还有删除堆中某个元素、增大某个元素的优先级和减小某个元素的优先级的操作。高效执行此操作的前提 ，是用哈希表简历key到index的映射。
2.3 最大堆Python实现
逻辑参照上述C语言版
class Heap: def __init__(self, n): self.capacity = n self.size = 0 self.arr = [None] * (self.capacity+1) self.arr[0] = 2e24 def insert(self, num): if self.size == self.capacity: print("Out of size") else: self.size += 1 child = self.size # 空穴位置 # 上滤, 当左儿子在堆范围内 while num > self.arr[child // 2]: parent = child // 2 self.arr[child] = self.arr[parent] child = parent self.arr[child] = num def pop(self): if self.size == 0: print("Empty") else: max_item = self.arr[1] # 取堆顶 x = self.arr[self.size] # 取堆末尾元素 self.size -= 1 parent = 1 # 下滤, 当左儿子在堆范围内 while parent * 2 <= self.size: child = parent * 2 if child != self.size and self.arr[child+1] > self.arr[child]: child += 1 if self.arr[child] > x: self.arr[parent] = self.arr[child] # 孩子节点值上移 parent = child else: break self.arr[parent] = x return max_item
调用python包
import queue , random class Heap(): def __init__(self, k): if k > 0: self.q = queue.PriorityQueue(k) def queue(self): return self.q.queue def enque(self, key): # 当前堆大小小于其容量 if self.q._qsize() < self.q.maxsize: self.q.put(key) else: self.q.get() # 删除堆顶 self.q.put(key) def deque(self): if not self.q.empty(): return self.q.get() else: print("Empty heap") h1 = Heap(10) for i in range(15): h1.enque(i) print(h1.queue()) # 最小堆，k 可得到堆排序得到最大的k个 l1 = [ random.randint(1, 100) for i in range(20)] print(l1) for i in l1: h1.enque(i) print(h1.queue()) print("\nPriority Queue:") print([h1.deque() for i in range(h1.q._qsize())])
三、堆的应用
经典的应用有选择问题、堆排序和Huffman编码等等。
3.1. 选择问题
问题描述：输入N个数，找到第k个最大的数。如果K=N/2，就是找中位数， 这是选择问题的最困难的情况。
暴力法：直接排序，并返回排序数组的倒数第K个数，O(NlogN)，
使用堆：
算法A: 大优先队列
- 将N个元素读入数组，并构建最大堆O(N)
- 然后执行K次删除最大元素O(KlogN)
最后一次删除的元素就是第K个最大值，总时间复杂度：O(N + KlogN)。
- 如果k小时，运行时间取决于建堆O(N)。
- 如果k大时，运行时间取决于删除O(KlogN)。例如K=N，即O(NlogN)，直接堆排序
- 如果K=N/2，平均时间复杂度(NlogN)
算法B: 小优先队列（流式处理）
- 将K个元素读入数组，并构建最小堆O(K)
- 依次删除最小堆的最小元素，再将元素插入最小堆（把待插入元素放在堆顶，然后下滤）O((N-K)logK)
因此，O(K + (N-K)logK) = O(K(1-logK) + NlogK) = O(NlogK)
3.2 堆排序
- 将N个元素读入数组，并构建最大堆O(N) Heap的原理和实现
- 然后，执行N-1次删除最大元素O(NlogN)，返回的元素构成的数组有序
每次删除元素可以放在当前堆尾。慢于希尔排序。
- 实际实现时，先自底向上调用N/2 + 1次下滤操作PercolateDown，线性建堆。
- 然后，每次把堆顶元素和堆末尾元素交换，将堆size减1，并从根节点执行下滤操作PercolateDown。共计N-1次（最后一个元素已经在堆顶，不需要操作）
堆排序不完全同于二叉堆的删除，其数组元素初始位置在0，所以下滤开始位置为0而不是1，下滤范围从N-1到1（实际堆的大小）。
Python调包版
def sortArray(nums: List[int]) -> List[int]: import heapq heapq.heapify(nums) return [heapq.heappop(nums) for i in range(len(nums))]
Python实现
class Solution: def sortArray(self, nums: List[int]) -> List[int]: def heapify(nums, parent, arr_size): # parent为开始下滤节点索引，p为当前堆大小(决定调整边界) x = nums[parent] # 下滤, 当左儿子在堆范围内 while parent * 2 + 1 < arr_size: child = parent * 2 + 1 if child != arr_size-1 and nums[child+1] > nums[child]: child += 1 if nums[child] > x: nums[parent] = nums[child] parent = child else: break nums[parent] = x # 构建堆 n = len(nums) for i in range(n//2, -1, -1): heapify(nums, i, n) # 建堆时堆大小固定为其容量 # 迭代删除堆顶元素 for i in range(n-1, 0, -1): # 将堆顶元素取出（直接在末尾存储），把末尾元素放堆顶 nums[i], nums[0] = nums[0], nums[i] heapify(nums, 0, i) # 然后下滤 return nums
C实现
void PercolateDown( ElementType A[], int p, int N ) { /* 将N个元素的数组中以A[p]为根的子堆调整为最大堆 */ int Parent, Child; ElementType X = A[p]; /* 取出根结点存放的值 */ for ( Parent=p; (Parent*2+1) < N; Parent=Child ) { Child = Parent * 2 + 1; if ( (Child != N-1) && (A[Child] < A[Child+1]) ) Child++; /* Child指向左右子结点的较大者 */ if ( X >= A[Child] ) break; /* 找到了合适位置 */ else /* 下滤X */ A[Parent] = A[Child]; } A[Parent] = X; } void HeapSort( ElementType A[], int N ) { int i; /* 建立最大堆 */ for ( i = N/2-1; i >= 0; i-- ) PercolateDown( A, i, N ); for ( i=N-1; i>0; i-- ) { /* 删除最大堆顶 */ Swap( &A[0], &A[i] ); PercolateDown( A, 0, i ); } }
参考资料：算法第四版，浙江大学-数据结构慕课