题解 【NOIP2011】计算系数

时间:2022-09-03 14:07:26

【NOIP2011】计算系数

Description

给定一个多项式 (ax+by)^k ,请求出多项式展开后 x^n * y^m 项的系数。

Input

共一行,包含 5 个整数,分别为 a,b,k,n,m,每两个整数之间用一个空格隔开。

Output

输出共 1 行,包含一个整数,表示所求的系数,这个系数可能很大,输出对 10007 取模后的结果。

Sample Input

1 1 3 1 2

Sample Output

3

Hint

【数据范围】
对于 30%的数据,有 0≤k≤10;
对于 50%的数据,有 a = 1,b = 1;
对于 100%的数据,有 0≤k≤1,000,0≤n, m≤k,且 n + m = k,0≤a,b≤1,000,000。

Source

NOIP2011
数学,递推

解析

全班数学垫底的我竟然在讲数学题!!!

好吧它确实是一道数学题。

首先,二项式定理了解一下:

对于a与b的和的n次幂,

有:

题解  【NOIP2011】计算系数
所以,第r+1项的通式为:
 题解  【NOIP2011】计算系数

因此,原式可化简为:

(ax)n (by)m ×  C(k,n) //实在没图片了

所以只要求组合数取模,快速幂就行了。

然后,我就想到了拓展欧几里得,逆元,卢卡斯定理等神奇的东西。。。

其实并不需要这么复杂,

聪明的中国人早就有自己的东西:杨辉三角!!

所以只要递推求组合数就可以了!!

最后上AC代码:

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std; const int Mod=;
int a,b,k,m,n;
int f[][]; ll power(int a,int b){
ll r=;
while(b){
if((b&)) r=r*a%Mod;
a=(ll)a*a%Mod;
b>>=;
}
return r;
} int main(){
scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&k,&n,&m);
for(int i=;i<=k;i++){
f[i][]=;
}
for(int i=;i<=k;i++){
for(int j=;j<=i;j++){
f[i][j]=((ll)f[i-][j]+(ll)f[i-][j-])%Mod;
}
}
ll ans=(ll)f[k][n]%Mod*(ll)power(a,n)%Mod*(ll)power(b,m)%Mod;
ans%=Mod;
printf("%lld\n",ans);
return ;
}

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