UOJ #449. 【集训队作业2018】喂鸽子
小Z是养鸽子的人。一天，小Z给鸽子们喂玉米吃。一共有n只鸽子，小Z每秒会等概率选择一只鸽子并给他一粒玉米。一只鸽子饱了当且仅当它吃了的玉米粒数量\(≥k\)。 小Z想要你告诉他，期望多少秒之后所有的鸽子都饱了。
假设答案的最简分数形式为\(\frac{a}{b}\)，你需要求出\(w\)，满足\(a≡b⋅w \pmod{998244353}(0≤w<998244353).\)
\(n\leq 50,k\leq 1000\)
首先可以用\(\min-\max\)反演来解决：
因为\(k\)是固定的，所以每个集合中至少有一个鸽子被喂饱的期望只与集合大小有关。
\[ans=\sum_{i=1}^n(-1)^{i+1}\binom{n}{i}g_i
\]
\]
其中\(g_c\)就是至少喂饱\(c\)只鸽子中的一只的期望步数。
我们将期望转成概率：
\[\begin{align}
g_c&=\sum_{i\geq 1}i*P(x=i)\\
&=\sum_{i\geq 1}P(x\geq i)\\
\end{align}
\]
g_c&=\sum_{i\geq 1}i*P(x=i)\\
&=\sum_{i\geq 1}P(x\geq i)\\
\end{align}
\]
设\(f_{c,s}\)表示给\(c\)只鸽子喂食，喂了\(s\)次还没有将任意一只鸽子喂饱的概率。
所以：
\[\begin{align}
g_c&=\sum_{i\geq 1}\sum_{s=0}^{i-1}\binom{i-1}{s}f_{c,s}(\frac{n-c}{n})^{i-1-s}\\
&=\sum_{s=0}^{c(k-1)}f_{c,s}\sum_{t\geq 0}\binom{s+t}{s}(\frac{n-c}{n})^t
\end{align}
\]
g_c&=\sum_{i\geq 1}\sum_{s=0}^{i-1}\binom{i-1}{s}f_{c,s}(\frac{n-c}{n})^{i-1-s}\\
&=\sum_{s=0}^{c(k-1)}f_{c,s}\sum_{t\geq 0}\binom{s+t}{s}(\frac{n-c}{n})^t
\end{align}
\]
我们知道：
\[(\frac{1}{1-x})^k=\sum_{i\geq 0}\binom{i+k-1}{k-1} x^i
\]
\]
所以：
\[\begin{align}
\sum_{t\geq 0}\binom{s+t}{t}(\frac{n-c}{n})^t&=(\frac{1}{1-\frac{n-c}{n}})^{s+1}\\
&=(\frac{n}{c})^{s+1}
\end{align}
\]
\sum_{t\geq 0}\binom{s+t}{t}(\frac{n-c}{n})^t&=(\frac{1}{1-\frac{n-c}{n}})^{s+1}\\
&=(\frac{n}{c})^{s+1}
\end{align}
\]
所以
\[g_c=\sum_{s=0}^{c(k-1)}f_{c,s}(\frac{n}{c})^{s+1}
\]
\]
接着考虑求\(f\)数组。
方法就是新加进来一只鸽子就枚举给这只鸽子喂了多少次食物。
\[f_{c,s}=\sum_{i=0}^{\min(s,k-1)}\binom{s}{i}\frac{1}{n^i}f_{c-1,s-i}\\
\frac{f_{c,s}}{s!}=
\sum_{i=0}^{\min(s,k-1)}
\frac{1}{n^ii!}
\frac{ f_{c-1,s-i}}{(s-i!)} \\
\]
\frac{f_{c,s}}{s!}=
\sum_{i=0}^{\min(s,k-1)}
\frac{1}{n^ii!}
\frac{ f_{c-1,s-i}}{(s-i!)} \\
\]
于是就可以用\(NTT\)算出\(\frac{f_{c,s}}{s!}\)的值了。
复杂度\(O(n^2klog(k))\)
还有个\(O(n^2k)\)的算法就先咕着吧。
代码：
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 55
#define K 1005
using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
const ll mod=998244353;
ll ksm(ll t,ll x) {
ll ans=1;
for(;x;x>>=1,t=t*t%mod)
if(x&1) ans=ans*t%mod;
return ans;
}
int n,k,m;
int f[N][N*K];
ll fac[N*K],ifac[N*K];
ll C(int n,int m) {return fac[n]*ifac[m]%mod*ifac[n-m]%mod;}
void NTT(ll *a,int d,int flag) {
static int rev[N*K<<2];
static ll G=3;
int n=1<<d;
for(int i=0;i<n;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<d-1);
for(int i=0;i<n;i++) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
for(int s=1;s<=d;s++) {
int len=1<<s,mid=len>>1;
ll w=flag==1?ksm(G,(mod-1)/len):ksm(G,mod-1-(mod-1)/len);
for(int i=0;i<n;i+=len) {
ll t=1;
for(int j=0;j<mid;j++,t=t*w%mod) {
ll u=a[i+j],v=a[i+j+mid]*t%mod;
a[i+j]=(u+v)%mod;
a[i+j+mid]=(u-v+mod)%mod;
}
}
}
if(flag==-1) {
ll inv=ksm(n,mod-2);
for(int i=0;i<n;i++) a[i]=a[i]*inv%mod;
}
}
ll A[N*K<<2];
ll B[N*K<<2];
ll g[N];
int main() {
n=Get(),k=Get();
m=n*k;
int d=ceil(log2(m+1));
fac[0]=1;
for(int i=1;i<=m;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
ifac[m]=ksm(fac[m],mod-2);
for(int i=m-1;i>=0;i--) ifac[i]=ifac[i+1]*(i+1)%mod;
ll invn=ksm(n,mod-2);
for(int i=0;i<k;i++) {
A[i]=ksm(invn,i)*ifac[i]%mod;
}
NTT(A,d,1);
for(int i=0;i<k;i++) f[1][i]=1;
for(int i=0;i<k;i++) f[1][i]=ksm(invn,i);
for(int i=2;i<=n;i++) {
for(int j=0;j<1<<d;j++) B[j]=0;
for(int j=0;j<=i*(k-1);j++) B[j]=f[i-1][j]*ifac[j];
NTT(B,d,1);
for(int j=0;j<1<<d;j++) B[j]=B[j]*A[j]%mod;
NTT(B,d,-1);
for(int j=0;j<=i*(k-1);j++) f[i][j]=B[j]*fac[j]%mod;
}
for(int i=1;i<=n;i++) {
ll w=ksm(i,mod-2)*n%mod;
ll t=w;
for(int s=0;s<=i*(k-1);s++) {
(g[i]+=f[i][s]*t)%=mod;
t=t*w%mod;
}
}
ll ans=0;
ll flag=1;
for(int c=1;c<=n;c++,flag=flag*(mod-1)%mod) {
(ans+=flag*C(n,c)%mod*g[c])%=mod;
}
cout<<ans;
return 0;
}