给定一个升序排列的自然数数组，数组中包含重复数字，例如：[1,2,2,3,4,4,4,5,6,7,7]。问题：给定任意自然数，对数组进行二分查找，返回数组正确的位置，给出函数实现。注：连续相同的数字，返回第一个匹配位置还是最后一个匹配位置，由函数传入参数决定。
我为什么会出这道题目？
二分查找在数据库内核实现中非常重要
在数据库的内核实现中，二分查找是一个非常重要的逻辑，几乎99%以上的SQL语句(所有索引上的范围扫描/等值查询/Unique查询等)，都会使用到二分查找进行数据的定位。
考虑一个数据库表t1(a int primary key, b int)，表上的b字段有一个B+树索引，表中记录的b字段取值，就是题目中的[1,2,2,3,4,4,4,5,6,7,7]序列。此时，给定以下的两条查询语句，就是使用到了不同的二分查找逻辑：
SQL1：
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1
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select * from t1 where b > 4;
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SQL2：
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1
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select * from t1 where b >= 4;
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针对SQL1，索引的二分查找，就需要跳过所有的4，从最后一个4之后开始返回所有记录；针对SQL2，二分查找就需要定位到第一个4，然后顺序读取所有记录。
除此之外，针对数据库中其他的查询逻辑，二分查找还需要附带更多的功能，例如：
SQL3：
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1
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select * from t1 where b < 2;
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SQL4：
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1
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select * from t1 where b <= 2;
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由于数据库索引同时支持反向扫描，因此SQL3、SQL4的语句，都可以使用索引反向扫描。反向扫描时，SQL3需要定位到索引中的第一个2；而SQL4，则需要定位到索引的最后一个2，然后开始反向返回满足查询条件的索引记录。
二分查找在程序设计中，是一个十分基础并且易错的功能
第一个真正正确的二分查找算法，在第一个二分查找实现之后的12年，才被发表出来。通过Google，输入Binary Search或者是二分查找关键字，有大量的相关的文章或者博客讨论此话题。
二分查找实现，需要注意的问题
本文不准备详细介绍一个正确的二分查找应该是如何实现的，毕竟现在网上有着大量的正确版本。接下来，根据批改试卷过程中发现的一些问题，做一些简单的分析，希望对大家实现一个有效的二分查找算法，甚至是一个数据库内可用的二分查找算法，有所帮助。
问题一：是否检查参数的有效性
大量的试卷，在给出此问题的解决算法时，直接拿着low，high参数开始进行计算，但是却没有检查low/high参数。low/high是否相同，数组中是否存在记录？low/high构成的区间是否有效？代码的鲁棒性不足。
在数据库的二分查找实现中，一般是对一个索引页面进行二分查找。索引页面中有可能根本不存在用户的记录(索引页面中的记录全部被删除，又没有与兄弟页面合并时)，此时，low/high均为0，此时如果根据low/high计算出来的mid进行记录的读取，就存在逻辑错误。
问题二：二分查找中值的计算
这是一个经典的话题，如何计算二分查找中的中值？试卷中，大家一般给出了两种计算方法：
算法一： mid = (low + high) / 2
算法二： mid = low + (high – low)/2
乍看起来，算法一简洁，算法二提取之后，跟算法一没有什么区别。但是实际上，区别是存在的。算法一的做法，在极端情况下，(low + high)存在着溢出的风险，进而得到错误的mid结果，导致程序错误。而算法二能够保证计算出来的mid，一定大于low，小于high，不存在溢出的问题。
回到数据库二分查找，数据库的一个索引页面(大小一般是8k或者是16k)，能够存储的索引记录是有限的，因此肯定不会出现(low + high)溢出的风险。这也是为什么InnoDB中的中值，采用的就是算法一的实现。但是，作为一个严谨的程序设计人员，还是推荐使用算法二，将任何潜在的风险，扼杀于摇篮之中。
问题三：递归实现二分查找
超过一半的试卷，使用了递归调用的方式实现二分查找。不能说递归实现有错，而是在于实现效率问题。总所周知，递归调用存在着压栈/出栈的开销，其效率是比较低下的。而以数据库这样一个极端优化代码效率，提供快速查询响应的系统来说，效率是第一位的。不建议使用递归方式实现二分查找，至少在数据库内核实现中是不允许使用的。据我所知，所有的开源数据库系统，例如：InnoDB，PostgreSQL都未采用递归方式实现二分查找。
问题四：如何查找第一个/最后一个等值
回到题目，要求根据传入的参数不同，返回第一个/最后一个等值项。在本文的背景部分，我也解释了此问题对应的数据库查询(>，>=查询需求是不同的)。在试卷中，超过80%的同学的答案都是先进行二分查找，待定位到相同值之后，再根据传入的flag(用户需求：flag = 1，返回第一个等值项；flag = 0，返回最后一个等值项)，进行顺序遍历，直至定位到满足条件的项。
同样，不能说这个实现是错的，但是也存在着性能问题。性能性能性能，永远是数据库内核实现考虑的重点之一(相信也是所有应用程序的一个指标)。数据库中，除了主键索引/Unique索引能够保证键值唯一之外，很多二级辅助索引都是存在相同键值的，有时相同键值的项会超过千项(考虑一个用户的订单，或者是购买记录)。
假设一个索引页面，保存着400项记录，均为相同键值。此时，使用先二分查找，后顺序遍历的算法，二分查找只能使用一次，顺序遍历199次，最终对比了200次。效率非常之低。当然，我也欣喜的看到另外一小部分同学的做法(我期待看到的算法)，用flag来纠正每次比较的最终结果。例如：比较相等(相等用0表示，大于为1，小于为-1)，但是flag = 1，则返回纠正后的比较结果为1，需要移动二分查找的high到mid，继续二分(反之，若flag = 0，则返回纠正后的结果为-1，需要移动二分查找的low到mid，继续二分)。如此一来，等值仍旧可以进行二分查找，最终的对比只需要9次，远远小于200次。
此问题，进一步引出了下一个问题，数据库中如何实现一个通用的，更为复杂的二分查找算法？
问题五：数据库中的二分查找实现举例
数据库中的二分查找，更为复杂，需要实现一个通用型的二分查找算法，使用于各种不同的SQL查询场景。
InnoDB针对不同的SQL语句，总结出四种不同的Search Mode，分别为：
#define PAGE_CUR_G 1 >查询
#define PAGE_CUR_GE 2 >=，=查询
#define PAGE_CUR_L 3 <查询
#define PAGE_CUR_LE 4 <=查询
然后根据这四种不同的Search Mode，在二分查找碰到相同键值时进行调整。例如：若Search Mode为PAGE_CUR_G或者是PAGE_CUR_LE，则移动low至mid，继续进行二分查找；若Search Mode为PAGE_CUR_GE或者是PAGE_CUR_L，则移动high至mid，继续进行二分查找。
我们的TNT引擎，采用了与InnoDB不同的方案，但是也实现了相同的功能。TNT引擎针对相同键值的调整总结为下图，在此我就不做解释了，大家可以尝试着自己进行分析。
/* 操作符 includeKey forward compare result: 1 0 -1 */
=============================================================================
>= 1 1 | 1 -1 -1
= 1 1 | 1 -1 -1
> 0 1 | 1 1 -1
< 0 0 | 1 -1 -1
<= 1 0 | 1 1 -1
=============================================================================