引入问题：
要求将一个正整数n分成几个自然数的和，使这些自然数的乘积最大。输出这个最大值。
分两种要求：
（1）这些自然数可以相同；
（2）这些自然数互不相同；
（同一个数n，1的结果应该比2大）。
分析：
(只分析n>=4的情况，因为n<4最大值都是本身)
1.这些自然数可以相同
我们先列几个数找找规律：
4=2+2、5=3+2、6=3+3、7=3+2+2、8=2+2+2+2、9=3+3+3、10=2+2+2+2+2 …
观察这些数可以得如下规律：
（1）拆分的自然数不会超过3，因为4可以化为2+2，5可以化为3+2>5，所以所有的数都可以拆为只 有3和2的数；
（2）因为都可以拆除3和2，所有为了使乘积大，应该先尽可能拆除3，而后拆除2，分成1无贡献；
那么我们考虑所有的n除以3的情况：
- 可以被3整除，那么就将他全部拆为3，如:9=3+3+3；
- 被3除余1，那么可以拆为形如3+3+……+3+4，即3+3+……+3+2+2，如10=3+3+2+2；
- 被3除余2，那么可以拆为形如3+3+……+3+2，如11=3+3+3+2；
实现代码：
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int t,n;
int main()
{
scanf("%d",&t);
while(T--)
{
scanf("%d",&n);
int ans;
if(n<4) ans=n;
else
{
int cnt3,cnt2; // 3的个数 2的个数
if(n%2==1) // n为奇数
{
cnt3=(n-3)/6*2+1;
cnt2=(n-3)%6/2;
}
else // n为偶数
{
cnt3=n/6;
cnt2=n%6/2;
}
ans=pow(3,cnt3)*pow(2,cnt2);
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
2.这些自然数互不相同
也是先写几个数找规律：
5=2+3、6=2+4、7=3+4、8=3+5、9=2+3+4、10=2+3+5、11=2+4+5、12=3+4+5、13=3+4+6、
14=2+3+4+5、15=2+3+4+6、16=2+3+5+6、17=2+4+5+6、18=3+4+5+6……
（其实不用列数字，凭以往经验也应该知道，如果互不相同，这些自然数应该尽量连续，才能使乘积大）
我们可以发现如下规律：
- 数字应该尽量连续，而且应该从2开始（因为1不做贡献，分1不如把一加在后面的数上）
下面对连续自然数做出分析：
我们可以得到形如：2+3+4+5+……k的式子，n是任意整数，我们并不能才好得到连续的自然数，可能多出△x。
对应△x我们可以保证他0<=△x<=k（为什么一定小于等于k？因为如果大于k，原式应该多加一项变成2+3+4+……+k+k+1）
那么多出来的△x应该怎么处理，有上面列的几个式子的规律，显然应该从后往前均摊给前k-1个数。
为什么从后往前呢？应该从前往后或遇到重复的数。
那么当我们分完△x后，应该会得到两种式子：
- △x=k 3+4+5+6+……+k+(k+2)
- △x<k 2+3+4+……+(k-△x)+(k-△x+1)+……+（k+1）
显然我们要求出式子的值，应该借助阶乘，阶乘中缺失的项，我们除掉就好了，如果数值要求大要求取模，就要用到除法逆元了。求阶乘可以用前缀积，连续自然数则用前缀和，如果时间要求有现在，就用二分来优化，二分找最接近n的前缀和。
这里推荐一个题目：HDU 5976
(这题就用到了逆元，和二分)
题解