楼梯有n阶台阶，上楼可以一步上1阶,2阶，3阶，编程序计算共有多少种不同的走法？

时间：2025-04-16 07:14:27

 

 

题目：楼梯有n阶台阶，上楼可以一步上1阶,2阶，3阶，编程序计算共有多少种不同的走法？

 

对于这样一个问题，

思路：设n阶台阶的走法数为f(n)。如果只有1个台阶，走法有1种（一步上1个台阶），即f(1)=1；如果有2个台阶，走法有2种（一种是上1阶，再上1阶，另一种是一步上2阶），即f(2)=2；如果有3个台阶，走法有4种（一种每次1阶，共一种；另一种是2+1，共两种；第三种是3，共1种），即f(3)=4；

当有n个台阶（n>3）时，我们缩小问题规模，可以这样想：最后是一步上1个台阶的话，之前上了n-1个台阶，走法为f(n-1)种，而最后是一步上2个台阶的话，之前上了n-2个台阶，走法为f(n-2)种，故而f(n)=f(n-1)+f(n-2)。列出的递归方程为：f(1)=1;f(2)=2;

f(3)=4;

if(n==1)

return 1;

else if(n==2)

return 2;

else if(n==3)

return 4;

else

return  f(n-1)+f(n-2)+f(n-3),n>3

最后一步可能是从第n-1阶往上走1阶、从n-2阶往上走2阶，或从第n-3阶往上走3阶。因此，抵达最后一阶的走法，其实就是抵达这最后三阶的方式的总和。

解决方法1：按照递归的思想；但运算时间很长

 

int countWays (int n)
{if (n<=0)
   return 0;
if (n==1)
   return 1;
else if(n==2)
   return 2;
else if(n==3)
   return 4;
else
  {
  return countWays(n-1)+countWays(n-2)+countWays(n-3);
 }
}

 

 
解决方法2：采用动态规划的思想 优化，

当一个问题可以分解成若干重复的子问题时，运用动态规划的思想：

只需要将子问题求解一次，以后再遇到，直接调用，所以我们新建一个数组用于存储子问题的结果：
  
将数组元素初始为零，若为新的子问题，我们求解，并把结果赋给对应的数组元素；这样当我们再次遇到相同的子问题，就可以直接调用了。
 
int countWaysDP(int n, dp[])
 { if (n<0) 
    return 0; 
   if (n==0) 
   return dp[n]; 
   if (dp[n]>0) 
   return dp[n]; //如果大于0 说明这个子问题已经计算过，直接调用数组 
   else { 
   dp[n]=countWays[n-1,dp]+countWays[n-2,dp]+countWays[n-3,dp]; //否则 还需计算该数组 
   return dp[n]; } 
}
 
接下来贴上实际运行代码吧； 
 
#include<iostream> 
using namespace std; 
const int MAX=1000; 
int countWays(int n) {
   if (n<0) 
     return 0; 
   if (n==0) 
      return 1; 
    else { 
  return countWays(n-1)+countWays(n-2)+countWays(n-3); 
  } 
} 

int countWaysDP(int n, int dp[]) {
    if (n<0) 
    return 0; 
    if (n==0) 
    return 1; 
    if (dp[n]>0) 
    return dp[n]; //如果大于0 说明这个子问题已经计算过，直接调用数组 
    else { 
    dp[n]=countWaysDP(n-1,dp)+countWaysDP(n-2,dp)+countWaysDP(n-3,dp); //否则 还需计算该数组 
    return dp[n]; } 
} 
   int main() { 
    int m[MAX]={0}; 
     // int m[MAX]; 
   for(int i=1;i<10;i++) 
   cout<<countWaysDP(i,m)<<endl; 
  }


 

 

 

 

 

 

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