信号与系统-典型信号的傅里叶变换

时间：2025-03-31 07:56:14

典型信号的傅里叶变换

  1. e − a t u ( t ) e^{-at}u(t) e−atu(t)的傅里叶变换为 1 a + j ω \frac{1}{a+j\omega} a+jω1​ ( a > 1 ) (a>1) (a>1)
  2. δ ( t ) \delta (t) δ(t)的傅里叶变换为1
  3. 1的傅里叶变换为 2 π δ ( ω ) 2\pi \delta(\omega) 2πδ(ω)
  4. E [ u ( t + τ 2 ) − u ( t − τ 2 ) ] E\big[u(t+\frac{\tau}{2})-u(t-\frac{\tau}{2})\big] E[u(t+2τ​)−u(t−2τ​)]的傅里叶变换为 2 E ω s i n ( ω τ 2 ) \frac{2E}{\omega}sin(\frac{\omega \tau}{2}) ω2E​sin(2ωτ​)
  5. s i n ( ω c t ) π t \frac{sin(\omega_ct)}{\pi t} πtsin(ωc​t)​的傅里叶变换为 u ( t + ω c ) − u ( t − ω c ) u(t+\omega_c)-u(t-\omega_c) u(t+ωc​)−u(t−ωc​)
  6. c o s ( ω 0 t ) cos(\omega_0t) cos(ω0​t)的傅里叶变换为 π [ δ ( ω + ω 0 ) + δ ( ω − ω 0 ) ] \pi [\delta(\omega + \omega_0)+\delta(\omega - \omega_0)] π[δ(ω+ω0​)+δ(ω−ω0​)]
  7. s i n ( ω 0 t ) sin(\omega_0t) sin(ω0​t)的傅里叶变换为 π j [ δ ( ω − ω 0 ) + δ ( ω + ω 0 ) ] \frac{\pi}{j} [\delta(\omega - \omega_0)+\delta(\omega + \omega_0)] jπ​[δ(ω−ω0​)+δ(ω+ω0​)]
  8. u ( t ) u(t) u(t)的傅里叶变换为 1 j ω + π δ ( ω ) \frac{1}{j\omega}+\pi\delta(\omega) jω1​+πδ(ω)

1. e − a t u ( t ) e^{-at}u(t) e−atu(t)的傅里叶变换为 1 a + j ω \frac{1}{a+j\omega} a+jω1​ ( a > 1 ) (a>1) (a>1)

X ( j ω ) = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) e − j ω t d t = ∫ − ∞ + ∞ e − a t u ( t ) e − j ω t d t = ∫ 0 + ∞ e − a t e − j ω t d t = ∫ 0 + ∞ e − ( a + j ω ) t d t = − 1 a + j ω e − ( a + j ω ) t ∣ 0 + ∞ = − 1 a + j ω ( e − ( a + j ω ) + ∞ − 1 ) \begin{aligned} X(j\omega) &= \int _{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt \\ &= \int _{-\infty}^{+\infty} e^{-at}u(t)e^{-j\omega t}dt \\ &= \int _{0}^{+\infty} e^{-at}e^{-j\omega t}dt \\ &= \int _{0}^{+\infty} e^{-(a+j\omega)t}dt \\ &= -\frac{1}{a+j\omega}e^{-(a+j\omega)t}|^{+\infty}_{0} \\ &= -\frac{1}{a+j\omega}(e^{-(a+j\omega)+\infty}-1) \\ \end{aligned} X(jω)​=∫−∞+∞​x(t)e−jωtdt=∫−∞+∞​e−atu(t)e−jωtdt=∫0+∞​e−ate−jωtdt=∫0+∞​e−(a+jω)tdt=−a+jω1​e−(a+jω)t∣0+∞​=−a+jω1​(e−(a+jω)+∞−1)​

当且仅当 a > 0 a>0 a>0时， e − ( a + j ω ) + ∞ = 0 e^{-(a+j\omega)+\infty} = 0 e−(a+jω)+∞=0

X ( j ω ) = 1 a + j ω = ( a − j ω ) ( a + j ω ) ( a − j ω ) = a a 2 + ω 2 − j ω a 2 + ω 2 \begin{aligned} X(j\omega) &= \frac{1}{a+j\omega} \\ &= \frac{(a-j\omega)}{(a+j\omega)(a-j\omega)} \\ &= \frac{a}{a^2 + \omega^2} - j\frac{\omega}{a^2 + \omega^2} \\ \end{aligned} X(jω)​=a+jω1​=(a+jω)(a−jω)(a−jω)​=a2+ω2a​−ja2+ω2ω​​

因此， ∣ X ( j ω ) ∣ = 1 a 2 + ω 2 |X(j\omega)|=\frac{1}{\sqrt{a^2+\omega ^2}} ∣X(jω)∣=a2+ω2 ​1​， θ = − a r c t a n ( ω a ) \theta=-arctan(\frac{\omega}{a}) θ=−arctan(aω​)

2. δ ( t ) \delta (t) δ(t)的傅里叶变换为1

X ( j ω ) = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) e − j ω t d t = ∫ − ∞ + ∞ δ ( t ) e − j ω t d t = e − j ω 0 = 1 \begin{aligned} X(j\omega) &= \int _{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt \\ &= \int _{-\infty}^{+\infty} \delta(t)e^{-j\omega t}dt \\ &= e^{-j\omega 0} \\ &= 1 \end{aligned} X(jω)​=∫−∞+∞​x(t)e−jωtdt=∫−∞+∞​δ(t)e−jωtdt=e−jω0=1​

3. 1的傅里叶变换为 2 π δ ( ω ) 2\pi \delta(\omega) 2πδ(ω)

X ( j ω ) = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) e − j ω t d t = l i m N → + ∞ ∫ − N + N e − j ω t d t = l i m N → + ∞ − 1 j ω e − j ω t ∣ − N N = l i m N → + ∞ 1 j ω ( e j ω N − e − j ω N ) = l i m N → + ∞ 2 s i n ( ω N ) ω = 2 π δ ( ω ) \begin{aligned} X(j\omega) &= \int _{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt \\ &= lim_{N \to +\infty}\int _{-N}^{+N} e^{-j\omega t}dt \\ &= lim_{N \to +\infty}-\frac{1}{j\omega}e^{-j\omega t}|_{-N}^{N} \\ &= lim_{N \to +\infty} \frac{1}{j\omega}(e^{j\omega N-e^{-j\omega N}}) \\ &= lim_{N \to +\infty} \frac{2sin(\omega N)}{\omega} \\ &= 2\pi \delta(\omega) \end{aligned} X(jω)​=∫−∞+∞​x(t)e−jωtdt=limN→+∞​∫−N+N​e−jωtdt=limN→+∞​−jω1​e−jωt∣−NN​=limN→+∞​jω1​(ejωN−e−jωN)=limN→+∞​ω2sin(ωN)​=2πδ(ω)​

4. E [ u ( t + τ 2 ) − u ( t − τ 2 ) ] E\big[u(t+\frac{\tau}{2})-u(t-\frac{\tau}{2})\big] E[u(t+2τ​)−u(t−2τ​)]的傅里叶变换为 2 E ω s i n ( ω τ 2 ) \frac{2E}{\omega}sin(\frac{\omega \tau}{2}) ω2E​sin(2ωτ​)

X ( j ω ) = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) e − j ω t d t = ∫ − τ 2 τ 2 E e − j ω t d t = E ( − 1 j ω ) e − j ω t ∣ − τ 2 τ 2 = E 1 j ω ( e j ω τ 2 − e − j ω τ 2 ) = 2 E s i n ( ω τ 2 ) ω = E τ S a ( ω τ 2 ) \begin{aligned} X(j\omega) &= \int _{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt \\ &= \int _{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}} Ee^{-j\omega t}dt \\ &= E (-\frac{1}{j\omega})e^{-j\omega t}|^{\frac{\tau}{2}}_{-\frac{\tau}{2}} \\ &= E \frac{1}{j\omega}(e^{j\omega \frac{\tau}{2}}-e^{-j\omega \frac{\tau}{2}}) \\ &= \frac{2Esin(\omega \frac{\tau}{2})}{\omega} \\ &= E\tau Sa(\omega \frac{\tau}{2}) \end{aligned} X(jω)​=∫−∞+∞​x(t)e−jωtdt=∫−2τ​2τ​​Ee−jωtdt=E(−jω1​)e−jωt∣−2τ​2τ​​=Ejω1​(ejω2τ​−e−jω2τ​)=ω2Esin(ω2τ​)​=EτSa(ω2τ​)​

5. s i n ( ω c t ) π t \frac{sin(\omega_ct)}{\pi t} πtsin(ωc​t)​的傅里叶变换为 u ( t + ω c ) − u ( t − ω c ) u(t+\omega_c)-u(t-\omega_c) u(t+ωc​)−u(t−ωc​)

X ( j ω ) = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) e − j ω t d t = ∫ − ∞ + ∞ s i n ( ω c t ) π t e − j ω t d t = ∫ − ∞ + ∞ s i n ( ω c t ) π t [ c o s ( ω t ) − j s i n ( ω t ) ] d t = ∫ − ∞ + ∞ s i n ( ω c t ) π t c o s ( ω t ) d t − j ∫ − ∞ + ∞ s i n ( ω c t ) π t s i n ( ω t ) d t = ∫ − ∞ + ∞ s i n ( ω c t ) π t c o s ( ω t ) d t = 1 2 [ ∫ − ∞ + ∞ s i n [ ( ω c + ω ) t ] π t d t + ∫ − ∞ + ∞ s i n [ ( ω c − ω ) t ] π t d t ] \begin{aligned} X(j\omega) &= \int _{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt \\ &= \int _{-\infty}^{+\infty} \frac{sin(\omega_ct)}{\pi t}e^{-j\omega t}dt \\ &= \int _{-\infty}^{+\infty} \frac{sin(\omega_ct)}{\pi t}\big[cos(\omega t)-jsin(\omega t)\big]dt \\ &= \int _{-\infty}^{+\infty} \frac{sin(\omega_ct)}{\pi t}cos(\omega t)dt -j\int _{-\infty}^{+\infty} \frac{sin(\omega_ct)}{\pi t}sin(\omega t)dt \\ &= \int _{-\infty}^{+\infty} \frac{sin(\omega_ct)}{\pi t}cos(\omega t)dt \\ &= \frac{1}{2}\big[\int _{-\infty}^{+\infty} \frac{sin[(\omega_c+\omega)t]}{\pi t} dt + \int _{-\infty}^{+\infty} \frac{sin[(\omega_c-\omega)t]}{\pi t} dt\big ]\\ \end{aligned} X(jω)​=∫−∞+∞​x(t)e−jωtdt=∫−∞+∞​πtsin(ωc​t)​e−jωtdt=∫−∞+∞​πtsin(ωc​t)​[cos(ωt)−jsin(ωt)]dt=∫−∞+∞​πtsin(ωc​t)​cos(ωt)dt−j∫−∞+∞​πtsin(ωc​t)​sin(ωt)dt=∫−∞+∞​πtsin(ωc​t)​cos(ωt)dt=21​[∫−∞+∞​πtsin[(ωc​+ω)t]​dt+∫−∞+∞​πtsin[(ωc​−ω)t]​dt]​

利用下面公式进行化简

∫ − ∞ ∞ s i n ( ω t ) π t = { 1 , ω > 0 − 1 , ω < 0 \int_{-\infty}^{\infty}\frac{sin(\omega t)}{\pi t} = \begin{cases} 1, & \omega > 0 \\ -1, & \omega < 0 \end{cases} ∫−∞∞​πtsin(ωt)​={1,−1,​ω>0ω<0​

当 ω < − ω c \omega < -\omega_c ω<−ωc​时 ( ω c > 0 ) (\omega_c > 0) (ωc​>0)，有$\omega + \omega_c < 0 ， ， ，\omega_c - \omega > 0 ，上式 ， 上式 ，上式=\frac{1}{2}[-1+1] = 0$

当 − ω c < ω < ω c -\omega_c < \omega < \omega_c −ωc​<ω<ωc​时，有$\omega + \omega_c > 0 ， ， ，\omega_c - \omega > 0 ，上式 ， 上式 ，上式=\frac{1}{2}[1+1] = 1$

当 ω > ω c \omega > \omega_c ω>ωc​时 ( ω c > 0 ) (\omega_c > 0) (ωc​>0)，有$\omega + \omega_c > 0 ， ， ，\omega_c - \omega < 0 ，上式 ， 上式 ，上式=\frac{1}{2}[1-1] = 0$

因此，傅里叶变换为 u ( t + ω c ) − u ( t − ω c ) u(t+\omega_c)-u(t-\omega_c) u(t+ωc​)−u(t−ωc​)

从4和5可以看出，方波与 S a Sa Sa互为傅里叶变换

参考文献

/video/BV1g94y1Q76G?p=21&vd_source=b3a15f5d8887594220b3104779be9fc3

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