信号的希尔伯特变换与等效基带表示：原理与Matlab实践

内容摘要：
本文深入解析信号的希尔伯特变换原理及其核心性质，包括频谱特性、奇偶性与正交性。通过解析信号与等效基带表示，展示如何将带通信号转换为基带信号以简化系统分析，并结合带通系统的等效基带模型验证其有效性。

关键词：希尔伯特变换，解析信号，等效基带信号，带通系统，频谱分析

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1. 希尔伯特变换及其性质

1.1 定义与频谱分析

希尔伯特变换（Hilbert Transform）是一种重要的信号处理工具，定义为：
$$\hat{s}(t)=\mathcal{H}[s(t)]={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{s(\tau )}{\pi (t-\tau )}d\tau$$
其逆变换为：
$$s(t)={\mathcal{H}}^{-1}[\hat{s}(t)]=-{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\hat{s}(\tau )}{\pi (t-\tau )}d\tau$$

通过傅里叶变换分析，希尔伯特变换的频域特性为：
$$\mathcal{F}[\hat{s}(t)]=-j\cdot \text{sgn}(f)\cdot \mathcal{F}[s(t)]$$
其中，$\text{sgn}(f)$为符号函数，表示对信号正频率分量移相$-90^{\circ }$，负频率分量移相$90^{\circ }$，等效于一个线性系统（如图2-5所示）。

1.2 核心性质

1. 奇偶性：$s(t)$与其希尔伯特变换$\hat{s}(t)$互为奇偶函数。
2. 正交性：${\int }_{-\infty }^{\infty }s(t)\hat{s}(t)dt=0$。
3. 等能量性：${\int }_{-\infty }^{\infty }{s}^2(t)dt={\int }_{-\infty }^{\infty }[\hat{s}(t){]}^{2}dt$。

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2. 解析信号与等效基带信号

2.1 解析信号

信号$f(t)$的解析信号定义为：
$$z(t)=f(t)+j\hat{f}(t)$$
其频谱为：
$$Z(f)=2F(f)U(f)$$
即解析信号仅保留原信号的正频率分量，且幅度加倍。

2.2 带通信号的等效基带表示

带通信号（如$s(t)=f(t)\cos {\omega }_{c}t$）可通过解析信号平移至基带：

1. 解析信号：$z(t)=s(t)+j\hat{s}(t)$
2. 平移至基带：
   $$s_L(t)=z(t)e^{-j2\pi f_{c}t}=s_r(t)+j{s}_c(t)$$
   此时，原带通信号可表示为：
   $$s(t)=\text{Re}\left[s_L(t)e^{j2\pi f_{c}t}\right]$$

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3. 等效基带系统

带通系统（如通信信道）的冲激响应$h(t)$与输入信号$s(t)$均可分解为基带形式：
$$h(t)=\text{Re}\left[h_L(t)e^{j2\pi f_{c}t}\right],s(t)=\text{Re}\left[s_L(t)e^{j2\pi f_{c}t}\right]$$
系统输出为：
$$y(t)=\text{Re}\left[y_L(t)e^{j2\pi f_{c}t}\right],y_L(t)=h_L(t)\ast s_L(t)$$
结论：带通系统可等效为基带系统的卷积操作，大幅简化分析与计算。

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4. Matlab实例：带通信号处理对比

4.1 实例描述

输入信号： s ( t ) = e − t cos ⁡ 20 π t s(t) = e^{-t}\c