1 子空间的交集 （Lec6）
- 结论：设有R3上的子空间S和T，取两者的交，交仍为一个（子）空间
不严谨证明：
设v,w为S与T交集上的向量，因而v,w即属于S也属于T
对于S来说，v和w都是S的向量，则对v和w做线性组合一定在S内
同理对T来说，v与w也是T的向量，则v和w的线性组合也在T内
v和w的线性组合同时在S和T上，即v和w的线性组合在S与T的交内
即S和T的交满足加法和数乘封闭，是子空间
2 列空间 (Lec6)
对于一个m*n（列向量有m维）矩阵A，其列空间记为C(A)，是一个$R^{m}的子空间；其一组基为A的列向量的最大线性无关组
Q1:给定矩阵A
\begin{bmatrix}
1\ 1\ 2 \\2\ 1 \ 3 \\
3\ 1 \ 4 \\
4\ 1\ 5
\end{bmatrix}
是否对于任意的R^{4}上的b，方程Ax=b都有解？
问题有两个等价说法：
- 换言之，是指对于任意的属于R^{4}上的b，都在A的列空间（R^{4}的子空间）中吗？
- 既然b是R^{4}上任意的向量，那么A的列所生成的空间（列空间）需要充满整个R^{4}才能保证Ax=b永远有解，那么A真的是R^{4}本身吗？
答案既然是不的。
Q2：什么样的b能使Ax=b有解？
- 处于A的列所生成的子空间（列空间）C(A)中的b
- 总结：Ax=b有解，iff b属于A的列空间C(A)
3 零空间（Null Space, Lec 6）
Def：A为m*n矩阵是齐次方程Ax=0的所有解所组成的空间，是满足方程Ax=0的所有的x的空间（可理解为b=0），记为N(A)
是R^{n}的子空间
对于上面的A，零空间是R^{3}的子空间
- 零向量永远都是齐次方程的解（trivial sol）
- 对于上述的A，c(1,1,-1)是其解 （c为任意常数）
- A的零空间N(A)为零向量交c(1,1,-1)，是三维空间的一条直线
Question: check if solution to Ax=0 是子空间
不严谨证明：
设v和w都是齐次方程的解，也即
Av=0, Aw=0
则A(v+w) 一定为0
即v+w满足该方程，是方程的一个解
同理，v和w的所有线性组合都满足，也就是说v和w的所有线性组合都是解，也就是说Ax=0的所有解封闭，是一个空间
Question 对比2中的Ax=b，其解集是空间吗？
否，（0,0,0）不是其解，不在方程的解空间内；不含O的都不是空间