雅克比矩阵零空间

声明：本文参考均在文末声明，写下博客只为了记录复习之用，侵权必删！

1. 先说雅可比矩阵零空间(nullspace)的妙用

        雅克比矩阵有一些有趣的性质，比如它的零空间。只要机械臂的关节速度在其雅克比矩阵的零空间中，那么末端连杆的速度总是零，零空间由此得名。通俗的说就是：不管关节怎么动，末端连杆始终不动（就像被钉死了一样）。这个性质还挺有用的，因为有些场合要求机械臂在抓取东西的时候还能躲避障碍物。在其它领域，例如摄影，为了保证画面稳定需要摄像机能防抖动；在动物王国中，动物觅食时头部要紧盯猎物（被恶搞的稳定鸡）；在军事领域（例如坦克、武装直升机），要求炮口始终瞄准目标，不管车身如何移动和颠簸。 [1]

2. 说一说奇异矩阵

• 首先，看这个矩阵是不是方阵（否则就谈不上奇异矩阵和非奇异矩阵）。奇异矩阵是线性代数的概念，就是该矩阵的秩不是满秩。
• 再看此矩阵的行列式|A|是否等于0，若等于0，称矩阵A为奇异矩阵；若不等于0，称矩阵A为非奇异矩阵
• 如果A为奇异矩阵，则AX=0有无穷解，AX=b有无穷解或者无解。
• 如果A为非奇异矩阵，则AX=0有且只有唯一零解，AX=b有唯一解。
• 同时，由|A|≠0可知矩阵A可逆，这样可以得出另外一个重要结论:可逆矩阵就是非奇异矩阵，非奇异矩阵也是可逆矩阵。

3. 简单说一说机器人雅可比矩阵的零空间（nullspace）

     先谈一谈奇异点，为下面冗余机器人的零空间铺路。 Singularity（奇异点）是机械臂处在某一个configuration（即特定的关节位置组合）时，end effector失去某个方向的*度——你手臂伸直的那一刻，你的手绝无法沿着你手臂的方向运动

现在有了雅可比矩阵，我们可以从数学的角度重新来认识Singularity。为什么呢？不要忘了雅可比矩阵的用处：关节的运动速度乘以雅可比矩阵即得到end effector的运动速度。而end effector失去某个方向的*度即意味着在机械臂到达那个configuration的瞬间，不管关节怎么运动，end effector在这个方向的速度总为0。

从线性代数的角度来说，此时的J矩阵有这样的特性：对所有任意向量a，Ja相乘得到向量b，则所有向量b组成的线性空间维度将比正常情况下少至少一个*度——这说明什么？说明这个时候的雅可比矩阵使用了降维攻击，被降秩了啊！

现在，为了求出在什么configuration下机械臂会遇到奇异点，即求这个雅可比矩阵什么时候不是满秩矩阵，我们可以直接利用此时J的特征值为0（即此时J是一个奇异矩阵）。

      说到冗余*度，相信你已经可以想到如何从雅可比矩阵看出冗余了——当它又矮又胖的时候就是啦（雅可比矩阵的冗余有空还是要看看自己之前两篇博客，复习一下）。例如人的手在关节空间有七个*度，所以你能够在手部固定的情况下移动你的手肘。从数学的角度上，这意味着

我们知道，假如A是一个方阵，那么Ax=0有非零解的充分必要条件是A是一个奇异矩阵——也就是说，如果没有冗余*度，一个机械臂关节运动而end effector不动的情况只有在它处于singularity时才能出现。但是，如果A是一个矮胖矩阵，那么Ax=0必然有无数个非零解，这些解组成的空间即称为“零空间”（nullspace）。

简单地提一下：对于一个有冗余*度的机器人，假设你除了要控制end effector运动到某一位置，还要保证过程中它的手肘不碰到障碍物，那你总是可以在nullspace中找到一组解满足你的要求：在不改变end effector轨迹的同时避开障碍物。这样的方法称为null space control，我们以后有机会会详细展开。[2]

 对于 6 *度机械臂，由于它不是冗余的，所以大多数时候计算零空间会得到空（也就是说不存在零空间）。为了形象地展示零空间的效果， 只用了平移的部分。如下图所示，展示了机械臂在（平移）零空间中的一种运动 。可以看到，不管机械臂如何运动，末端连杆（局部坐标系）的位置始终不动（但是它的姿态会改变，只剩下沿 xyz轴的平移运动）

零空间是个线性空间，如果我们知道它的一组基向量，通过线性组合能够得到任意的（速度）向量。通过对这组基向量线性组合即可得到一个速度向量，其使机械臂末端始终不动。由于雅可比矩阵是机械臂构型q的函数，所以机械臂的构型一旦改变了，我们就要重新计算它的雅可比矩阵。[3]

零空间是个线性空间，如果我们知道它的一组基向量，通过线性组合能够得到任意的（速度）向量。NullSpace函数返回的刚好就是构成矩阵的零空间的一组基向量。通过对这组基向量线性组合即可得到速度向量，其使机械臂末端始终不动。下面的例子中使用的组合系数都是 1 ，也就是所有基向量相加（向量相加就是对应元素相加，由Total函数完成）。由于雅可比矩阵是机械臂构型q的函数，所以机械臂的构型一旦改变了，我们就要重新计算它的雅可比矩阵。如果还不理解，可以随时显示出dq的值，然后计算Jgm.dq看看结果是不是零。如果是零就说明dq在零空间里。
零空间是个线性空间，如果我们知道它的一组基向量，通过线性组合能够得到任意的（速度）向量。NullSpace函数返回的刚好就是构成矩阵的零空间的一组基向量。通过对这组基向量线性组合即可得到速度向量，其使机械臂末端始终不动。下面的例子中使用的组合系数都是 1 ，也就是所有基向量相加（向量相加就是对应元素相加，由Total函数完成）。由于雅可比矩阵是机械臂构型q的函数，所以机械臂的构型一旦改变了，我们就要重新计算它的雅可比矩阵。如果还不理解，可以随时显示出dq的值，然后计算Jgm.dq看看结果是不是零。如果是零就说明dq在零空间里。

[1] https://blog.****.net/robinvista/article/details/70231205

[2]https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzI1MTA3MjA2Nw==&mid=402079232&idx=1&sn=1311ae646375e6f091b194ee0ee1d2af&scene=21#wechat_redirect

[3] https://blog.****.net/robinvista/article/details/70231205