椭圆外一点引椭圆的两条切线互相垂直问题巧解
1椭圆外一点引椭圆的两条切线互相垂直问题巧解 问题： 已知椭圆 c: ，点 P (x 0 ， y 0 )是椭圆外一点，且由点 P 引椭 ) 0 ( 1 2 2 2 2 b a b y a x 圆的两条切线互相垂直，则点 P(x 0 ，y 0 )的轨迹方程为 。 2 2 2 0 2 0 b a y x 解：设两切点为 A(x 1 ，y 1 ) ，B(x 2 ，y 2 ) ， 则 ,即：(x 1 -x 0 ) (x 2 -x 0 )+(y 1 -y 0 ) (y 2 -y 0 )=0 0 PB pA 所以， (1) 0 ) ( ) ( 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 0 2 1 y y y y y x x x x x x 由椭圆的切线、切点弦知识可得直线 AB 的方程为： (2) 1 2 0 2 0 b y y a x x 将(2)代人椭圆 c 消去 y 得： 0 1 2 1 2 0 2 2 0 2 0 2 2 2 0 4 0 2 2 y b x y a x b x y a x b a 所以： (3) 2 0 2 2 0 2 2 0 4 2 4 2 1 2 0 2 2 0 2 0 2 2 2 1 , 2 y a x b y a b a x x y a x b x b a x x 将(2)代人椭圆 c 消去 x 得： 0 2 ) 1 ( 2 0 2 0 2 2 0 2 0 2 2 2 0 4 2 0 2 2 x x a y x b y a y x b y a b 所以： (4) 2 0 2 2 0 2 4 2 0 4 2 2 1 2 0 2 2 0 2 2 2 2 1 , 2 y y a x b b x b a y y y a x b y b a y o 将(3) 、 (4)代人(1)整理得： 0 ) )( ( 2 2 2 0 2 2 0 2 2 2 2 0 2 0 b a y a x b b a y x 所以： 1 , 2 2 0 2 2 0 2 2 2 0 2 0 b y a x b a y x 或 因为点 P 在椭圆外，所以点 P(x 0 ,y 0 ) 的轨迹方程是： 。 2 2 2 0 2 0 b a y x 巧遇高考题，广东省 2014 年高考数学压轴题 20 题 已知椭圆 c： 的一个焦点为( ) ，离心率为 ) 0 ( 1 2 2 2 2 b a b y a x 0 5 ， 3 5 (1)求椭圆 c 的标准方程 (2)若动点 P(x 0 ,y 0 ) 为椭圆外 c 一点，且点 P 引椭圆 c 的两条切线互相垂直，求点 P 的 轨迹方程 解: