系列笔记为本学期上抽象代数课整理的，持续更新。
群的相关定义
群的定义
群是一个带有满足结合律、单位元、逆元的二元运算的集合，记作 ( G , ⋅ ) \left({G, \cdot}\right) (G,⋅)。若群运算满足结合律，则该集合构成半群。如果该半群中含有单位元（幺元），则称为含幺半群。如果一个群或半群是群运算可交换的，则称这个群或半群是阿贝尔群。
子群
一个群的子群是该群中元素的一个子集，并对群乘法和逆操作保持封闭，记作 H ≤ G H\leq G H≤G。最简单的子群是单位元，被称为平凡子群。
判定非空子群的充要条件是：非空子集 H H H, a , b ∈ H , a b − 1 ∈ H a,b \in H, ab^{-1}\in H a,b∈H,ab−1∈H。证明思路是先证明存在单位元，此后就可以推出对逆操作封闭，然后就会发现对乘法封闭。该命题也可以写成非空子集 H H H满足 H H − 1 = H H H^{-1}=H HH−1=H。
子群的任意交是子群，但是并不一定。
两个子群之间的乘积什么时候还是一个子群呢？命题是子群 A , B ≤ G A,B\leq G A,B≤G的乘积 A B ≤ G AB\leq G AB≤G当且仅当 A B = B A AB=BA AB=BA.
陪集分解
相关定义
等价关系与分划
参见[[07：度量空间#序对与关系]]部分。
一个集合的分划是指一个无交并的子集集合，即：
S
=
⋃
˙
i
S
i
,
S
i
⋂
S
j
=
∅
,
i
≠
j
S= \dot{\bigcup} _{i}S_{i},\quad \quad S_{i}\bigcap S_{j}=\emptyset,i \neq j
S=⋃˙iSi,Si⋂Sj=∅,i=j
容易知道一个集合上的每一个等价关系都对应一个分划，反之亦然。
陪集的定义
设G是群，H是一个子群，则
∀
a
∈
G
\forall a\in G
∀a∈G:
a
H
=
{
a
h
∣
h
∈
H
}
H
a
=
{
h
a
∣
h
∈
H
}
aH=\left\{{ah\:\bigg|\:h\in H}\right\}\quad \quad Ha=\left\{{ha\:\bigg|\:h\in H}\right\}
aH={ah
h∈H}Ha={ha
h∈H}
分别被称为H在
G
G
G 中关于
a
a
a 的左右陪集。请注意，这里的名称是集，说明陪集在大多是情况下并不构成一个群。
事实上陪集定义了一个自然的等价关系。对于左陪集，可以将
H
H
H 中的所有元素视作一个右变换，只要存在一个变换将
a
a
a 变为
b
b
b，则可以认为两者等价：
a
∼
b
⟺
∃
h
∈
H
:
a
h
=
b
a\sim b\iff \exists h\in H:ah=b
a∼b⟺∃h∈H:ah=b
可以验证这显然是一个等价关系。两个等价的元素生成的陪集显然相同：
a
∼
b
⟺
a
H
=
b
H
a \sim b\iff aH=bH
a∼b⟺aH=bH
而我们早就已经获悉可以采用某一中等价关系，对原来的集合进行分解。这就是陪集分解。我们将在下一节中先给出陪集的一些基本性质，再给出陪集分解，以及重要的Lagrange定理。
陪集性质与定理
陪集有着一些非常容易证明的性质。设G是群，H ≤ G， a, b ∈ G，
(1) a ∈ aH
(2) aH = H ⇔ a ∈ H
(3) aH ≤ G ⇔ a ∈ H
(4) aH = bH ⇔ a⁻¹b ∈ H
(5) aH 与 bH 或者完全相同，或者无公共元素
(6) |aH| = |bH|
由于陪集定义了一个自然的等价关系，我们可以由此将群
G
G
G进行分解：
G
=
⋃
g
∈
L
g
H
=
⋃
g
∈
R
H
g
G = \bigcup _{g \in L} gH = \bigcup _{g\in R} Hg
G=g∈L⋃gH=g∈R⋃Hg
由上述性质我们很容易推知Lagrange定理：
H
≤
G
⟹
∣
H
∣
[
G
:
H
]
=
∣
G
∣
H\leq G\implies \lvert H\rvert \left[{G:H}\right] = \lvert G\rvert
H≤G⟹∣H∣[G:H]=∣G∣
其中
[
G
:
H
]
\left[{G:H}\right]
[G:H] 是
H
H
H的左（右）陪集的个数，被称为
H
H
H在
G
G
G中的指数，其值可以通过Lagrange定理求到：
[
G
:
H
]
=
[
G
]
[
H
]
=
∣
L
∣
=
∣
R
∣
\left[{G:H}\right] = \frac{\left[{G}\right]}{\left[{H}\right]}=\lvert L\rvert =\lvert R\rvert
[G:H]=[H][G]=∣L∣=∣R∣
由于陪集个数一定是整数，我们可以知道任何群的子群的阶数都可以整除原来群的阶数。
陪集分解的运用
元素的阶数
一个元素的阶数被定义为：
o
(
a
)
=
min
{
n
:
a
n
=
e
}
o(a) = \min\: \left\{{n:a^n = e}\right\}
o(a)=min{n:an=e}
有时也被记为
o
r
d
(
a
)
ord(a)
ord(a)。如果没有正整数
n
n
n使得
a
n
=
e
a^n=e
an=e，则定义其阶数为正无穷。注意，由定义可知群的阶数要大于其中任意一个元素的阶数。
我们可以利用元素的阶数来研究群的阶数。首先，若
o
(
a
)
<
∞
o(a)<\infty
o(a)<∞，则
⟨
a
⟩
\langle a\rangle
⟨a⟩显然是
G
G
G的一个子群，故：
o
(
a
)
∣
∣
G
∣
,
o
(
a
)
<
∞
o(a)\:\bigg|\:\lvert G\rvert ,\quad o(a)<\infty
o(a)
∣G∣,o(a)<∞
也就是以下一个定理：
定理：对于有限群，每一个元素的阶数都是群阶数的因子。
作为定理的推论，我们可以知道以下几个事实：
Facts：
（1）群中每个元素的阶数都是2，则群为Abel群。
proof：
b
a
=
(
a
a
)
b
a
(
b
b
)
=
a
(
a
b
a
b
)
b
=
a
b
ba=(aa)ba(bb)=a(abab)b=ab
ba=(aa)ba(bb)=a(abab)b=ab
（2）素数
p
p
p阶群必然是一个循环群，从而是一个Abel群；
p
2
p ^{2}
p2阶群必定是一个Abel群。
proof：前者是由于
⟨
a
⟩
∣
p
\langle a\rangle\:\bigg|\:p
⟨a⟩
p，后者我们在后面可以运用类数定理进行证明。
（3）非Abel群的最小阶数为6。（为
S
3
S_{3}
S3）
还有如下性质：
(
1
)
o
(
a
t
)
=
o
(
a
)
(
t
,
o
(
a
)
)
(
2
)
o
(
a
)
=
m
,
o
(
b
)
=
n
,
a
b
=
b
a
,
(
m
,
n
)
=
1
⟹
o
(
a
b
)
=
m
n
\begin{align*} &(1)\quad o(a ^{t}) = \frac{o(a)}{\left({t,o(a)}\right)}\\ &(2)\quad o(a)=m,o(b) = n,ab = ba,\left({m,n}\right) = 1\implies o(ab) = mn \end{align*}
(1)o(at)=(t,o(a))o(a)(2)o(a)=m,o(b)=