利用贝叶斯公式做贝叶斯统计实例

时间:2025-03-16 07:20:51

(1)Q1和Q2分别是部门1和部门2对于产品优品率的报告

Q1 报告优品率为 90%

Q2 报告优品率为 70%


(2)A1和A2是领导根据先验认知,假设的部门1报告的Q1和部门2报告的Q2的为真的概率

P(A1)=0.4

P(A2)=0.6

分析可知:Q1报告的不太可靠,Q2报告比较靠谱。且A1和A2是对立事件。(可见平时对于领导印象的重要性)


(3)领导也不是容易被忽悠的,于是安排做了一个实验:试制了5个产品,经检验,全是优品记为事件X


(4)现在我们在(3)发生的情况下,重新去考察(2)中先验概率是否有了变化

(4.1)我们可以根据(1)(2)(3)人工构造一个条件概率,在假设每个产品的优品率是独立同分布

P(X|A1)=(5 5)*0.9^5*(1-0.9)^0=0.590

P(X|A2)=(5 5)*0.7^5(1-0.7)^0=0.168

注意,我们一定要把A1事件和P(A1)区分开,A1事件说的是优品率的概率,P(A1)说的是A1为真的概率。于是P(X|A1)是说,在优品率在0.9情况下,试制5个全为优品(事件X)发生的概率。尽管事件X发生了,我们还是在讨论X的发生概率。总之事件和事件的概率是两回事。

(4.2)全概率公式

P(X)=P(X|A1)P(A1)+P(X|A2)P(A2)=0.337

(4.3)计算后验概率

P(A1|X)=P(A1)P(X|A1)/P(X)=0.7

P(A2|X)=P(A2)P(X|A2)/P(X)=0.3

(4.4)结论

在事件X发生的条件下,我们对P(A1)和P(A2)分别做了修正,A1可能性大大增加。


贝叶斯的另一个重要性质是,我们可以利用以前的实验修正后的后验概率,作为新一次实验的先验概率,重新计算新的实验后的后验概率

(5)再试制了10个,发现有9个优品,记为事件Y

我们以第一次实验的厚颜概率作为这次的先验概率

P(Y|A1)=(10 9)*0.9^9*(1-0.9)^1=0.387

P(Y|A2)=(10 9)*0.7^9*(1-0.7)^1=0.121

P(Y)=P(A1)*P(Y|A1) + P(A2)*P(Y|A2)  =0.7*0.387+0.3*0.121 // 实验2中的P(A1)和P(A2)应该用实验1的后验概率0.7和0.3

P(A1|Y)=P(A1)P(A1|Y)/P(Y)=0.883 

P(A2|Y)=P(A2)P(A2|Y)/P(Y)=0.117

在连续做了两次实验后的后验概率,大大提升P(A1)的概率,降低P(A2)的概率