贝叶斯岭回归（Bayesian Ridge Regression）的公式涉及多个组成部分，主要是贝叶斯统计中的先验分布、似然函数以及后验分布的推导。以下是对贝叶斯岭回归中关键公式的简要概述：
先验分布
在贝叶斯岭回归中，我们假设回归系数 w 的先验分布是一个以零为中心的高斯分布（也称为正态分布），其协方差矩阵与正则化参数 λ 有关：
其中，I 是单位矩阵，λ 是正则化参数（也称为精度参数），它控制了先验分布中 w 的分散程度。
似然函数
给定观测数据 X 和 y，我们假设观测噪声 ϵ 是高斯噪声，因此似然函数也是高斯分布：
其中，α 是噪声精度参数（与噪声方差 σ2 成反比，即 α=1/σ2），X 是设计矩阵（特征矩阵），y 是目标变量向量。
后验分布
根据贝叶斯定理，后验分布 p(w∣y,X,α,λ) 是先验分布和似然函数的乘积归一化后的结果。然而，直接计算后验分布可能很复杂，因此通常使用近似方法（如最大后验估计MAP）或采样方法（如马尔可夫链蒙特卡洛MCMC）。
在贝叶斯岭回归的上下文中，我们经常关注的是后验分布的均值和协方差，这些可以通过解析方式（在特定假设下）或数值方法（如变分推断）来近似。
预测分布
对于新的输入 x∗，我们想要预测其对应的输出 y∗。预测分布 p(y∗∣x∗,y,X,α,λ) 可以通过对 w 的后验分布进行积分来得到：
在实践中，我们通常对预测分布的均值和方差感兴趣，这些可以通过后验分布的均值和协方差来近似计算。