什么是基本运算？
答：基本运算是解决问题时占支配地位的运算（一般1种，偶尔两种）；讨论一个算法优劣时，只讨论基本运算的执行次数。
什么是算法的时间复杂性（度）？
答：算法的时间复杂性（度）是指用输入规模的某个函数来表示算法的基本运算量。T(n)=4n3
什么是算法的渐近时间复杂性？
答：当输入规模趋向于极限情形时（相当大）的时间复杂性。
表示渐进时间复杂性的三个记号的具体定义是什么？
答：1. T(n)= O(f(n))：若存在c > 0，和正整数n0≥1，使得当n≥n0时， 总有 T(n)≤c*f(n)。 （给出了算法时间复杂度的上界，不可能比c*f(n)更大）
2. T(n)=Ω(f(n))：若存在c > 0，和正整数n0≥1，使得当n≥n0时， 存在无穷多个n ，使得T(n)≥c*f(n)成立。（给出了算法时间复杂度的下界，复杂度不可能比c*f(n)更小）
3. T(n)= Θ(f(n))：若存在c1,c2>0，和正整数n0≥1，使得当n≥n0时， 总有 T(n)≤c1*f(n)， 且有无穷多个n，使得T(n)≥c2*f(n)成立， 即：T(n)= O(f(n))与T(n)=Ω(f(n))都成立。（既给出了算法时间复杂度的上界，也给出了下界）
什么是最坏情况时间复杂性？什么是平均情况时间复杂性？
答：最坏情况时间复杂性是规模为n的所有输入中，基本运算执行次数为最多的时间复杂性。
平均情况时间复杂性是规模为n的所有输入的算法时间复杂度的平均值 （一般均假设每种输入情况以等概率出现）。
一般认为什么是算法？什么是计算过程？
答：一般认为，算法是由若干条指令组成的有穷序列，有五个特性a.确定性（无二义）b.能行性（每条指令能够执行）c.输入 d.输出 e.有穷性（每条指令执行的次数有穷）
只满足前4条而不满足第5条的有穷指令序列通常称之为计算过程。
算法研究有哪几个主要步骤？主要从哪几个方面评价算法？
答：算法研究的主要步骤是1)设计2）表示 3）确认，合法输入和不合法输入的处理 4）分
析 5）测试
评价算法的标准有1）正确性 2）健壮性 3）简单性 4）高效性 5）最优性
关于多项式时间与指数时间有什么样的结论？
答：1. 多项式时间的算法互相之间虽有差距，一般可以接受。
2. 指数量级时间的算法对于较大的n无实用价值。
什么是相互独立的函数序列？何时称函数项μk(x)能被其它函数项线性表出？
答：设{μ0(x), μ1(x), μ2(x), ⋯ ,μn(x), ⋯}是某一数域上的函数序列， （x的值以及μk(x)（k=0,1,2, ⋯）的值都在同一个数域中） 任取μk(x)（k=0,1,2, ⋯），不存在数域中的数α1，α2，⋯，αp，使得μk (x) = α1μi1(x) + α2μi2 (x) + ⋯ + αpμip (x) ，即任何一个函数项μk(x)不能被其它函数项线性表出。
根据特征根的情况，常系数线性递归方程的解有哪几种不同的形式？
答：1.若方程(**)恰有r个互不相同的特征根α1，α2，⋯，αr (即i≠j时有αi≠αj)，则齐次方程(*)的解为 an＝A1+ A2+ ⋯+Ar(齐通解，即齐次方程的通解) （A1～Ar为待定系数，可由r个连续的边界条件唯一确定）
2．若α1，α2是(**)方程的一对共扼复数根ρ和ρ， eiθeiθ.则这两个根对应的解的部分为Aρncos(nθ)+Bρnsin(nθ) (A,B为实的待定系数)
3．若α是(**)方程的k重根，则α对应的解的部分为 C1αn+ C2 nαn+ C3 n2αn+ ⋯+Ck nk-1αn (C1～Ck为待定常数)
4．若(*)方程中的f(n)≠0(非齐次)，且q(n)是(*)的一个解， 则(*)方程的解为： (*)的齐通解（含有待定系数）+ q(n) （非齐特解）， （齐通解中的待定系数由边界条件唯一确定）
求和中的通项与积分中的被积函数之间有什么样的关系？
答：求和中的通项的表达形式一般就是被积函数，一般用放缩的方法求得通项得上下界。
主定理的内容是什么？根据主定理的结论，可以获得哪些关于算法改进的启示？
答：T(n)=a*T(n/b)+f(n)
1) 若有ε> 0, 使f(n)=O() (即f(n)的量级多项式地小于的量级), 则T(n)= Θ ()。
2) 若f(n)= Θ() (即f(n)的量级等于的量级), 则T(n) =Θ()。
3) 若f(n)= Θ(), 则T(n)=Θ( )
3) 若有ε>0, 使f(n)=Ω() ε+)(aLogbn(即f(n)的量级多项式地大于的量级), 且满足正规性条件： abLogn存在常数c<1, 使得对所有足够大的n，有a*f(n/b)≤c*f(n), 则T(n)=Θ(f(n))。
正规性条件的直观含义: 对所有足够大的n，a个子问题的分解准备与再综合所需要的 时间总和，严格小于原问题的分解准备和综合所需要的时间。 因此一般来说，对于时间复杂度满足递归关系 T(n)=a*T(n/b)+f(n)的算法，只需比较f(n)与的量级大小， aLogbn算法的时间复杂度总是与量级大的那个相同（即小的那个可以忽略）；若f(n)与的量级相同（或只差）， aLogbnnLogk则算法的时间复杂度为f(n)*。
主定理对于算法改进得启示在于：
1）当T(n)= Θ ()时，即当的量级高于f(n)的量级时，n的量级在算法的时间复杂度中起主导作用。因而此时首先应当考虑使 aLogbnaLogbnaLogb logb a的值变小，而暂时无须考虑如何改善f(n)，即此时要考虑减小a （子问题个数）且使b不变（n/b为子问题规模），或增大b（减小子问题规模）而使a不变。也就是说，此时的重点应考虑改进子问题的分解方法，暂不必考虑改进子问题组合时的处理。
2）当f(n)的量级高于或等于的量级时，则f(n)的量级在算法的时间复杂度中起主导作用。因而此时首先应当考虑把f(n)的量级往下降，即此时应着重改善子问题组合时的处理方法，减少该部分工作的处理时间f(n)。
分治法的要领是什么？（分治法可分为哪三个主要步骤？）
答：分治法的要领
分治法是把一个规模较大的问题分解为若干个规模较小的子问题，这些子问题相互独立且与原问题同类； 首先求出这些子问题的解，然后把这些子问题的解组合起来得到原问题的解。由于子问题与原问题是同类的，故使用分治法很自然地要用到递归。
因此分治法分三步：
1 将原问题分解为子问题（Divide）
2 求解子问题（Conquer）
3 组合子问题的解得到原问题的解（Combine）
分治法求最大、最小元算法的主要思想？
答：当n=2时，一次比较就可以找出两个数据元素的最大元和最小元。 当n>2时，可以把n个数据元素分为大致相等的两半， 一半有n/2个数据元素，而另一半有n/2个数据元素。 先分别找出各自组中的最大元和最小元，然后 将两个最大元进行比较，就可得n个元素的最大元； 将两个最小元进行比较，就可得n个元素的最小元。
求最大、最小元算法的时间复杂度（比较次数）下界是多少？分治算法在什么情况下可以达到下界？
答：在规模为n的数据元素集合中找出最大元和最小元， 至少需要3n/2-2次比较，即3n/2-2是找最大最小元算法的下界。当n=2k,或当n≠2k时，若n是若干2的整数幂之和，（. 42=32+8+2），
则算法的时间复杂度仍可达到3n/2-2。
如何用分治法求两个n位二进制数x和y的乘积？算法的时间复杂度是多少？
答：若n=2k，则x可表为a2n/2+b，y可表为c2n/2+d (如图), 其中a, b, c, d均为n/2位二进制数。 于是x*y= (a2n/2+b) (c2n/2+d) = ac2n + (ad+bc)2n/2 + bd，计算式ac2n + (ad+bc)2n/2 + bd中的ad+bc可写为： 而(ad+bc)= (a+b) (d+c) - ac - bd, 因此在ac和bd计算出之后， 只要再做4次加减法，一次（n/2位数的）乘法就可以计算出ad+bc。 而原来计算(ad+bc)需要做2次乘法、一次加法； 新的计算公式比原方法少做了一次乘法。T(n)=3T(n/2) + Θ(n)，即a=3, b=2, f(n)=Θ(n)。 此时有：= = naLogbn32Logn1.59，并仍有f(n)=O()， ε−)(aLogbn于是有T(n)= Θ(n1.59)，比Θ(n2)要好不少。
用200字概括Select（求第k小元）算法的主要思路。
答：1.若S<50，则采用堆排序的方法找出第k小的元素
2.将n个元素分成[n/5]组，每组5个元素
3.对每个5元组进行排序，全部5元组排序后，从每组中取出第3个元素（中间元）得到一个长为[n/5]的数组M
4.递归调用Select([|M|/2],M)，即在M数组中找到第[|M|/2]小的数（中位数），记为m
5.依次扫描整个数组S，此项工作所需时间为O(n)。
当si<m时将si放入数组S1；
当si=m时将si放入数组S2；
当si>m时将si放入数组S3；
在得到的3个集合中，S1中的数均小于m；
S2中的数均等于m；S3中的数均大于m。
6. 按照k值大小，共可分成下列三种情况（注意S2至少有一个元素m）： k≤|S1|；|S1|<k≤|S1|+|S2|；以及k>|S1|+|S2|。 下面针对这三种情况分别进行讨论。
：若k≤|S1|，则第k小元素必定在S1中。 此时递归调用Select（k,S1），就可以获得第k小元素。 因大于等于m的数据元素至少有3n/10-6个， 而S1中的数均小于m，故S1中的数据元素至多有7n/10+6个， 即|S1|≤7n/10+6。因此，调用Select（k,S1）的 时间复杂度不超过T(7n/10+6)。
：若|S1|<k≤|S1|+|S2|，则第k小元素必定在S2中。 因为S2中的元素的值均等于m，故第k小元素就是m。 由于答案已经得到，此时立刻返回第k小元素m。 这部分工作的时间复杂度为O(1)。
：若k>|S1|+|S2|，则第k小元素必定大于m，因此在S3中。 而且此时该元素在S3中应为第k-|S1|-|S2|小的元素。 于是递归调用Select（k-|S1|-|S2|, S3）， 就可以获得S中的第k小元素。 因小于等于m的数据元素至少有3n/10-6个
时间复杂度为T(n)=T(p*n)+T(q*n)+a*n时，在p+q1及p+q1的情况下，T(n)分别为什么？
答：T(n)≤a*n*∑k=0∞(p+q)k
矩阵相乘算法目前最好的时间复杂度是多少？
答：目前矩阵乘法最好的时间复杂度是能做到O（n2.376）
叙述Strassen矩阵相乘算法的主要思路和意义。
答：把矩阵A，B分成4个规模为n/2的子矩阵快
C11=A11B11+A12B21, C12=A11B12+A12
C21=A21B11+A22B21, C22=A21B12+A22B22
同时引入下列Mi(i=1,2...7)
则计算两个n阶矩阵的乘法为7对n/2阶矩阵的乘法(时间为7T(n/2)),以及18对n/2阶矩阵的加减法则递归方程为T(n)=7T(n/2)+ Θ(n2),由主定理得T(n)= Θ(n2.81). Strassen矩阵相乘算法意义在于打破了人们认为矩阵乘法得时间复杂度为Θ（n3）得固定看法。
试用200～300字概述寻找最近点对算法的主要步骤。该算法中有哪几点最为关键？该算法是否可改进？
答：主程序算法：
读入n个点的坐标，这n个点的x坐标和y坐标 分别放在X，Y两个数组中，然后进行预处理： 对X数组中的n个x坐标值按从小到大的次序进行排序， 排序过程中保持x坐标和y坐标的对应关系：
若X[i]与X[j]对换位置，则Y[i]与Y[j]也做相同的对换。 另外，若两个点的x坐标相同，则y坐标值小的排前。 X数组排好之后就固定了，以后不再改变， 以便在O(1)时间对其实现分拆。（排序时间为Θ(n log n)） 将数组IND初始化为：IND[i]=i（i=1,2,┉,n）。 数组IND即是用来保持x坐标和y坐标的对应关系的机制， IND[i]记录的是 其y坐标值为Y[i]的点所对应的x坐标在X数组中的下标。 对Y数组中的n个y坐标值按从小到大的次序进行排序， 排序过程中保持y坐标和x坐标的对应关系： 若Y[i]与Y[j]对换位置，则IND [i]与IND [j]也做相同的对换。 这样，当给了一个点的y坐标Y[i]之后， 就可以在O(1)时间找到其对应的x坐标： Y[i]与X[IND [i]]就是该点的y坐标和x坐标。
调用子程序FCPP(1,n,X,Y,IND,δ,p,q) 就可求得n个点中的最近点对(p,q)和最小距离δ。 子程序FCPP的主要执行过程： 首先看当前处理的点数。若不超过3个点，就直接进行相互比较。 若超过3个点，则把点的y坐标分为两部分：左边和右边。
然后进行分治，求得两边的δL和δR，从而求得δ。 求出分割线，扫描当前的所有点，把落到2δ带状区域内的点找出来， 并使这些点的y坐标仍然保持从小到大的次序。 对落到2δ带状区域内的每一个点检查其后面的7个点， 若有距离更近的点对，则把最小距离δ（及最近点对(p,q)）更新， 执行完毕时，最小距离δ及最近点对(p,q)就得到了。
子程序FCPP(j,k,X,Ypres,INDpres,δ,p,q)中的参数说明： X数组存放已排好序的n个点的x坐标。 j,k为当前处理的X数组一段中的最小和最大下标。 Ypres数组存放当前处理的k-j+1个点的y坐标 （已按从小到大的次序排好）。 INDpres数组的长度也是k-j+1，INDpres[i]记录了其y坐标值 为Ypres [i]的点的x坐标在X数组中的下标值。 δ,p,q均为返回值， 给出当前处理的k-j+1个点中的最小距离δ和最近点对(p,q)。
算法中的几个关键点：分割线的寻找和最小距离相关的比较次数的判定
算法可以优化：比如对p点之后的7个点检查时未考虑两点均属同一侧的情况可以考虑减小比较次数。
做DFT时，是否总假定有n=2m？
答：是个，总有n=2m
什么是快速傅立叶变换（FFT）？如何用FFT来计算2个多项式的乘积？
答: 能在Θ(nlogn)时间里完成DFT的算法就称为FFT.
给了2个多项式的系数向量a和b之后，若其系数不是2的幂次，则将a和b的规模扩大（向量最后加若干个0）使得n=2m..然后把这两个向量维数再扩大一倍，得到两个维数为2n的向量。分别对2个向量做DFT，所得到两个向量进行点乘，再对结果做2n阶的DFT-1,即可求得2多项式相乘后的多项式系数c
什么是平衡？分治法与平衡有着什么样的关系？
答：在使用分治法和递归时，要尽量把问题分成规模相等，或至少是规模相近的子问题，这样才能提高算法的效率。使子问题规模尽量接近的做法，就是所谓的平衡。
分治法与动态规划法之间的相同点是什么？不同之处在哪些方面？
答：与分治法类似，动态规划法 也是把问题一层一层地分解为规模逐渐减小的同类型的子问题。
动态规划法与分治法的一个重要的不同点在于，用分治法分解后得到的子问题通常都是相互独立的， 而用动态规划法分解后得到的子问题很多都是重复的。因此，对重复出现的子问题，只是在第一次遇到时才进行计算，然后把计算所得的结果保存起来；当再次遇到该子问题时，就直接引用已保存的结果，而不再重新求解。
简述求矩阵连乘最少乘法次数的动态规划算法（不超过300字）
答：按照做最后一次乘法的位置进行划分，
该矩阵连乘一共可分为j-i种情况即有(j-i)种断开方式：
Mi(Mi+1┅Mj)，(MiMi+1)(Mi+2┅Mj)，┅，(MiMi+1┅Mj-1)Mj。
其中任一对括号内的矩阵个数（即规模）不超过j-i。
由于在此之前我们已知 任一个规模不超过j-i的矩阵连乘所需的最少乘法次数， 故(Mi┅Mk)和(Mk+1┅Mj)所需的最少乘法次数已知， 将它们分别记之为mik和mk+1,j。 于是，形为(Mi⋯Mk)(Mk+1⋯Mj)的矩阵连乘所需的最少乘法次数为：mik+mk+1,j+ri-1×rk×rj。 此式中的所有参加运算的数均已知， 故此式在O(1)时间里即可完成计算。 对满足i≤k<j 的共j-i种情况逐一进行比较，我们就可以得到矩阵连乘MiMi+1┅Mj-1Mj（i<j）所需的最少乘法次数mij为：
mij=min（i≤k<j）{mik+mk+1,j+ri-1×rk×rj}，（*） 其计算可在O(j-i) 时间里完成。
于是在初始时我们定义mii=0（相当于单个矩阵的情况）， 然后首先求出计算M1M2, M2M3, ┅, Mn-1Mn 所需的乘法次数mi,i+1(i=1,2,┅,n-1), 具体数值为ri-1×ri×ri+1, 因mii= m i+1, i+1=0； 再利用这些结果和（*）式，就可以求出 计算M1M2M3, M2M3 M4, ┅, Mn-2Mn-1Mn 所需的最少乘法次数mi,i+2(i=1,2,┅,n-2)。 同理，可依次算出mi,i+3(i=1,2,┅,n-3)，mi,i+4(i=1,2,┅,n-4)，┅， 直至算出m1,n即M1M2┅Mn-1Mn矩阵连乘所需的最少乘法次数。
能够用动态规划法求解的问题通常具有什么样的特征？
答：若一个问题可以分解为若干个高度重复的子问题， 且问题也具有最优子结构性质，就可以用动态规划法求解： 以递推的方式逐层计算最优值并记录必要的信息， 最后根据记录的信息构造最优解。
什么是最长公共子序列问题？在求LCS的算法中，C[i,j]是如何计算的？为什么需要这样计算？
答：若Z<X，Z<Y，且不存在比Z更长的X和Y 的公共子序列，
则称Z是X和Y 的最长公共子序列，记为Z∈LCS(X,Y)。如何在低于指数级的时间复杂度内找到LCS称为最长公共子序列问题
C[i,j]=0, 若i=0或j=0
C[I,j]=C[i-1,j-1]+1 若i,j>0且xi=yi
C[I,j]=max{C[i-1,j],C[i,j-1]} 若i,j>0且xi!=yi
二维数组C，用C[i,j]记录Xi与Yj的LCS的长度 如果我们是自底向上进行递推计算，那么在计算C[i,j]之前， C[i-1,j-1], C[i-1,j]与C[i,j-1]均已计算出来。此时我们 根据X[i]=Y[j]还是X[i]≠Y[j]，就可以计算出C[i,j]。
计算的理由：求LCS(Xm-1，Y)的长度与LCS(X，Yn-1)的长度 这两个问题不是相互独立的： ∵两者都要求LCS(Xm-1，Yn-1)的长度, 因而具有重叠性。 另外两个序列的LCS中包含了两个序列的前缀的LCS， 故问题具有最优子结构性质 考虑用动态规划法。
用200～300字概述求最优二分搜索树算法的主要步骤。算法中有哪几点最为关键？
答：记cij是最优子树Tij的耗费， 则ci,k-1是最优子树Ti,k-1的耗费，ck,j是最优子树Tk,j的耗费。 考察以ak (i+1≤k≤j)为根、由结点bi，ai+1，bi+1，⋯，aj，bj构成的、 耗费最小的树的总耗费：该树的左子树必然是Ti,k-1，右子树必然是Tk,j。 这棵树的总耗费可分为三部分：左子树、右子树和根。 由于Ti,k-1作为左子树接到结点ak之下时，其耗费增加wi,k-1， 故左子树的耗费为：ci,k-1+ wi,k-1， 同理，右子树的耗费为：ck,j+wk,j， 由于根ak的深度为0，按定义，根的耗费为pk。 因此，以ak 为根、耗费最小的树的总耗费为：ci,k-1+ wi,k-1+ckj+wk,j+pk。 注意到，wi,k-1=qi+pi+1+qi+1+⋯+pk-1+qk-1， wk,j=qk+pk+1+qk+1+⋯+pj+qj， 从而有wi,k-1+wkj+pk = qi+pi+1+qi+1+⋯+pk-1+qk-1+ pk +qk+pk+1+qk+1+⋯+pj+qj = wij。 由此得到以ak 为根、耗费最小的树的总耗费为：ci,k-1+ckj+wi,j
由于pi（i=1,2,⋯,n）, qj（j=0,1,2,⋯,n）在初始时已经知道， 若wi,j-1已知，则根据wi,j= wi,j-1+pj + qj可以计算出wij。 故当ci,k-1与ckj已知时，以ak 为根的树的最小总耗费 在O(1)时间就可以计算出来。 分别计算以ai+1，ai+2，⋯，aj为根、 含有结点bi，ai+1，bi+1，⋯，aj，bj的树的最小总耗费， 从中选出耗费最小的树，此即最优子树Tij。 因此，最优子树Tij的耗费cij={cminj k i ≤ <j k i ≤ <i,k-1+ckj+wij}。 递推求cij及记录Tij的根的算法
本算法的关键点：分析出最优二分搜索树具有最优子结构；在计算中规模较小的最优子树在计算中要被多次用到。Cij和Wij都是可以通过前面的计算递推得出的。
有了Tij的根的序号后，如何构造出最优二分搜索树？
答：设Tij的根为ak (rij记录到的值是k)，则从根开始建结点。
Build-tree(i,j,r,A) /*建立最优子树Tij*/
{If i≥j return "nill";
pointer←newnode(nodetype);
k←rij; /*必有i < m ≤ j*/
pointer→value←A[k]; /*A[k]即ak*/
pointer→leftson←Buildtree(i,k-1,r,A); /*建立最优左子树Ti,k-1*/
pointer→rightson←Buildertree(k,j,r,A); /*建立最优右子树Tk,j*/
return pointer;
}
Francis Yao的办法为什么会把算法时间复杂度从O(n3)降到O(n2)？
答：Th: 如果最小耗费树Ti,j-1和Ti+1,j的根分别为ap和aq，则必有
⑴p≤q ⑵最小耗费树Tij的根ak满足p≤k≤q。 （证明略。）
有了上述定理，我们无需在ai+1～aj之间去一一尝试，使得找到的ak为根时，{ci,k-1+ckj+wij}为最小，而只要从ap～aq之间去找一个根即可。
算法时间复杂度为Θ(n2)的证明：
首先注意Ti,j-1和Ti+1,j的规模恰好比Ti,j小1。由于算法是按树中结点的个数（即规模）从小到大计算的，故在计算rij时，ri,j-1（即定理中的p）和ri+1,j（即定理中的q）
都已经计算出来了。一般地，设含有k个连续结点的最优二分搜索子树的根
r0k，r1(k+1)，⋯，r(n-k),n已经计算出来。由Th知， 含有k+1个连续结点的最优二分搜索子树Ti, i+k+1的根 必在ri,i+k与ri+1,i+k+1之间。
故r0,k+1在r0,k与r1,k+1之间, 求出r0,k+1的搜索区间长度为r1,k+1-r0,k；
r1,k+2在r1,k+1与r2,k+2之间，求出r1,k+2的搜索区间长度r2,k+2 -r1,k+1；
r2,k+3在r2,k+2与r3,k+3之间，求出r2,k+3的搜索区间长度r3,k+3 -r2,k+2；
⋯⋯ r(n-k-1),n在r(n-k-1),n-1与r(n-k),n之间，
求出r(n-k-1),n的搜索区间长度为r(n-k),n-r(n-k-1),n-1；
于是，求出所有规模为k+1的最优二分搜索子树的根
r0,k+1, r1,k+2,⋯,r(n-k-1),n的搜索长度的总和=
(rn-k,n-rn-k-1,n-1)+⋯+( r3,k+3 -r2,k+2)+(r2,k+2-r1,k+1)+(r1,k+1-r0,k)=r(n-k),n-r0,k
∵rn-k,n最多为n，r0,k最小为1，
∴搜索区间长度最多为Θ(n)，即第2层循环执行总次数为Θ(n)，
因此算法总的时间复杂度为Θ(n2)。
用200～300字概述二维流水作业调度算法的主要步骤
答：求解该问题的算法如下。
1. 建立长为2n的数组C，将a1, a2,┅, an依次放入C[1]~ C[n]中，b1, b2,┅, bn依次放入C[n+1]~ C[2n]中。 /* O(n), 下面将对这2n个数进行排序*/
2. 对长为2n的数组D进行初始化：D[1]~ D[n]中依次放1,2,┅,n，D[n+1]~ D[2n]中依次放-1,-2,┅,-n。 /* O(n), 分别对应于a1, a2,┅, an和b1, b2,┅, bn的下标*/
3. 对数组C进行排序，D[k]始终保持与C[k]的对应关系。
（若C[i]与C[j]对换，则D[i]也与D[j]对换。
或将C，D放在同一结构体中。） 当a1, a2,┅, an及b1, b2,┅, bn按从小到大次序排好之后，
D[1]~ D[2n]也就按从小到大的次序记录了这些ai和bj的下标即作业号（bj的下标前有一负号以区别于ai））。/*O(n log n)*/
4. 将E[1]~ E[n]全部置为"No"。 /* O(n)，表示所有任务均尚未被安排*/
5. 下标变量初始化：i←1；j←n；k←1；
/*O(1)，i指向当前最左空位F[i]，放当前应最先安排的作业号;*/ /* j指向当前最右空位F[j]，放当前应最后安排的作业号;*/ /* k从1开始逐次增1，*/ /* D[k]（或-D[k]）按ai和bj从小到大的次序依次给出作业号*/
6. while i ≤ j
do { /* 作业尚未安排完毕，i从小到大, j从大到小*/
if D[k] > 0 then {if E[D[k]]为"No"then /*作业D[k]放在当前最左空位*/ {F[i]←D[k]; i增1; E[D[k]] 置为"Yes"}}
else if E[-D[k]]为"No"then /*作业-D[k]放在当前最右空位*/ {F[j]←-D[k]; j减1; E[-D[k]] 置为"Yes"}}
k增1；}
什么是备忘录方法？它在什么情况下使用较为有效？
答：若有大量的子问题无需求解时，用备忘录方法较省时。
但当无需计算的子问题只有少部分或全部都要计算时，
用递推方法比备忘录方法要好（如矩阵连乘，最优二分搜索树）。
简单不相交集的合并算法中为什么要引进集合的外部名和内部名？
答：：若没有内部名，
则每次合并时两个集合中的所有元素均要改名（改为K），
这样，在n-1次Union中改名的时间就变为O(n2) 。
什么是平摊分析？平摊分析常用的手法有哪几种？简单说明这几种手法的要点。
答：考虑n条指令执行的最坏时间复杂性。 即使某些指令执行时具有比较大的代价，
但利用平摊分析后对整体考虑， 可以得到较小的平均代价。
平摊分析方法主要有：聚集方法，会计方法和势能方法。
聚集方法：全局考虑时间复杂性， 把n条指令的耗费分为几类； 分别计算每一类耗费的总和， 然后再把各类耗费总加起来。
会计方法：利用几个操作之间的联系，在一个操作中预先支付下面某个操作的费用，以达到简化代价计算的目地。
势能方法：设Ci为第i个操作的实际代价，
D0为处理对象的数据结构的初始状态，
Di为第i个操作施加于数据结构Di-1之上后数据结构的状态，
引入势函数Φ，Φ(Di)是与Di相关的势。
定义第i个操作的平摊代价为：
= Ci +(Φ(Di)- Φ(Di-1))（即实际代价加上势的变化），
为什么树结构下执行O(n)条带路径压缩的Union-Find指令只需要O(n*G(n))时间？
答：用平摊分析的聚集方法，把O(n)条Find指令的耗费分为三类：
1） O(n)条Find指令的根费用，
2） O(n)条Find指令的组费用，
3） O(n)条Find指令的路径费用。
根费用：执行一条Find指令时，处理根及其儿子所需的费用。 一条Find指令只会碰到一个根（及其儿子）， 故O(n)条Find指令的根费用为O(n)， 这样，根及其儿子的费用已全部计算在内。
组费用：若结点ik (0≤k≤m-2)与其父结点ik+1的秩不在同一个秩组中， 则对ik收取一个组费用。因最多有G(n)个组， 故一条Find指令最多只会碰到G(n)个结点、 其秩与其父结点的秩不在同一个秩组中， 故O(n)条Find指令的组费用最多为O(n*G(n))。
路径费用：由于其秩在组号为g的组中结点的个数不超过n/F(g)， 故组g中的结点的收取的路径费用 不超过[n/F(g)]*[F(g)-(F(g-1)+1)]< [n/F(g)]*F(g)=n。 因总共只有G(n)个组， 故所有结点在O(n)条Find指令的执行中， 收取的路径费用不超过O(n*G(n))。
三项费用总加起来，有O(n)+ O(n*G(n))+O(n*G(n))=O(n*G(n)) 于是可得结论：如果合并是是把小集合并入大集合， 且执行Find指令时实施路径压缩，则执行O(n)条Unoin-Find指令的时间复杂度为O(n*G(n))；
树结构下执行O(n)条带路径压缩的Union-Find指令能否降到线性即O(n)时间？
答：执行O(n)条Unoin-Find指令时，对于任意的c，都存在一个特殊的Unoin-Find指令序列，
使得执行该序列的时间复杂度>cn， 即算法在最坏情况下不是线性的。
用200～300字概述Link(v,r)程序的执行过程。该程序的要点在什么地方？
答：要点在于：为保持Weight的性质，合并的同时要对Weight[r']进行修改。（由于原先的Link就是把r接到v之下，而含有v的树中各结点的深度并未受到任何影响，现在把Tr接在v'之下，Tv中的各结点当然也不会受到任何影响， 故Tv树中各结点的Weight值无需修改。）Tr树中各结点的Weight值如何修改？
设用Find-Depth指令可以查到v的深度为Depth(v)，
（注意Depth(v)是Find-Depth指令的返回值而不是函数） 而在原先的森林中，由于r是根，故原先有Depth(r)=0（也是值）。
执行Link指令后，把r作为v的儿子，
则此时在原先的森林中，r的深度为Depth(v)+1。
设在D-森林中，r'的儿子是s。
由Weight的性质，在D-森林中的2棵树合并之前，有：
从r到s路径上各结点的权和+旧Weight[r']=0(r在原森林中的深度)
D-森林中的2棵树合并之后，在原先森林中r的深度为
从r到s的权和+新Weight[r']+Weight[v']（按Weight的性质），
另一方面，按上述分析，在原先森林中r的深度为Depth(v)+1，
故有从r到s的权和+新Weight[r']+Weight[v']= Depth(v)+1。
由上述两式可得：
新Weight[r']=Depth[v]+1-Weight[v']+旧Weight[r']。
由于Tr中的其它各结点相对于r'的位置合并后均未改变，
故Tr中的其它各结点的Weight值无需改变，
只要r'的新Weight值正确，
则Tr中的其它各结点就都能够正确计算出其在原森林中的高度。
2、Count[v']< Count[r']时，把v'作为r'的儿子。
合并后应有：从r到s的权和+新的Weight[r']= Depth(v)+1。 故有新的Weight[r']= Depth(v)+1+旧Weight[r']。 另外，Weight[v']也要修改。 设在D-森林中，v'的儿子是t，则合并前有: 从v到t的权和+旧Weight[v']=Depth(v) (v在原森林里的深度)。 而合并以后应有： 从v到t的权和+新Weight[v']+新Weight[r']=Depth(v) (合并时是将r接到v之下，故v在原森林里的深度并不改变。) 2式联立得 新Weight[v']=旧Weight[v']-新Weight[r']。 不论哪一种情况，权修改完后 都要将新根的Count值改为Count[v']+Count[r']。 Link程序中，除了Find-Depth(v)（以找到根v'并计算出Depth(v)）、 Find(r)(以找到根r')外，其余部分的执行时间是常数， 而Find-Depth的时间复杂度与Find的同阶， 故O(n)条Link和Find-Depth可以在O(n*G(n))里完成。
你认为脱线MIN算法的关键点在什么地方？
答：算法：
for i=1 to n do {
j←FIND(i);
if j=0 then {输出"i未在序列中出现"}
else if j>k then {输出"i未被删除"}
else{ /* i确实被删除了*/
输出"i被第j条E指令所删除"；
UNION(j，Succ[j]，Succ[j])；
Succ[Pred[j]]←Succ[j]；/* 集合j不再存在*/
Pred[Succ[j]]←Pred[j]
} }
算法最关键的在于集合的Union和find算法的使用。
比较Las Vegas算法和Monte Carlo算法，它们有什么相同和相异之处？随机算法有哪些优点？答：LasVegas算法总是给出正确的结果，
但在少数应用中，可能出现求不出解的情况。此时需再次调用算法进行计算，直到获得解为止。对于此类算法，主要是分析算法的时间复杂度的期望值，以及调用一次产生失败（求不出解）的概率。Mont Carlo算法通常不能保证计算出来的结果总是正确的，一般只能断定所给解的正确性不小于p（＜p＜1＝。通过算法的反复执行（即以增大算法的执行时间为代价），能够使发生错误的概率小到可以忽略的程度。由于每次执行的算法是独立的，故k次执行均发生错误的概率为(1-p)k。
随机算法的优点：
1. 对于某一给定的问题，随机算法所需的时间与空间复杂性， 往往比当前已知的、最好的确定性算法要好。
2. 到目前为止设计出来的各种随机算法，无论是从理解上还是实现上，都是极为简单的。
3. 随机算法避免了去构造最坏情况的例子。 最坏情况虽有可能发生，但是它不依赖于某种固定的模式，只是由于"运气不好"才出现此种情况。
简述随机取数算法和找第k小元素的随机算法。
答：Random Sampling问题（Las Vegas算法）
设给定n个元素（为简单起见，设为1，2，⋯n），要求从n个数中随机地选取m个数（m≤n）。可以用一个长为n的布尔数组B来标识i是否被选中，初始时均表为"未选中"。然后随机产生〔1，n〕之间的一个整数i，若B[i]为"未选中"，则将i加入被选中队列， 同时把B[i]标识为"已选中"，反复执行直到m个不同的数全部被选出为止。
找第k小元素的随机算法（Las Vegas算法）：
在n个数中随机的找一个数A[i]=x, 然后将其余n-1个数与x比较，分别放入三个数组中： S1(元素均<x), S2(元素均=x), S3(元素均＞x)。 若|S1|≥k 则调用Select(k,S1)； 若（|S1|+|S2|）≥k，则第k小元素就是x； 否则就有（|S1|+|S2|）＜ k，此时调用Select(k-|S1|-|S2|,S3)。
什么是Sherwood随机化方法？简述Testing String Equality算法的误判率分析。
答：Sherwood随机化方法（属Las Vegas算法） 如果某个问题已经有了一个平均性质较好的确定性算法， 但是该算法在最坏情况下效率不高，此时引入一个随机数发生器 （通常是服从均匀分布，根据问题需要也可以产生其他的分布），将一个确定性算法改成一个随机算法，使得对于任何输入实例， 该算法在概率意义下都有很好的性能（. Select, Quicksort等）。 如果算法（所给的确定性算法）无法直接使用Sherwood方法， 则可以采用随机预处理的方法，使得输入对象服从均匀分布 （或其他分布），然后再用确定性算法对其进行处理。 所得效果在概率意义下与Sherwood型算法相同。
数论定理1：设π(n)是小于n的素数个数，则π(n)≈nnelog， 误差率不超过6%。
∵M=2n2，Pr[failure]的分母 π(M)≈
Pr[failure]的分子 ≤ 使得Ip(x)=Ip(y)的素数p(p＜M)的个数 =能够整除︱I(x)-I(y)︱的素数p(p＜M)的个数 （∵a≡b (mod p) iff p整除︱a-b︱）
数论定理2：如果a＜2n，则能够整除a的素数个数不超过π(n)个。 （只要n不是太小。）
∴Pr[failure]≤π(n) / π(M)≈nnnneelog/log/2=n1。即误匹配的概率小于n1。
设x≠y，如果取k个不同的小于2n2的素数来求Ip(x)和Ip(y)， 由于事件的独立性，因此事件均发生的概率满足乘法规则， 即k次试验均有Ip(x)=Ip(y)但x≠y（误匹配）的概率小于kn1。 ∴当n较大、且重复了k次试验时，误匹配的概率趋于0。
计算模型RAM与RASP之间有什么相同和相异之处？
答:RAM和RASP的相同之处在于作为计算模型都有各种寻址指令，且任何一个RAM程序，都可由一个RASP程序来模拟实现， 且时间复杂性数量级相同（不论哪一种耗费标准）。
即如果RAM程序的时间复杂度为T(n)，则RASP实现同样功能的程序的时间复杂度为kT(n)（k为常数）。任何一个RASP程序都可由RAM程序来模拟， 且时间复杂性的量级相同（无论哪一种耗费标准）。RASP程序与RAM程序之间可以相互模拟， 且无论哪一种耗费标准，两者的时间复杂性的量级均相同。
不同之处在于：RAM的程序一经给定就不允许修改；而RASP（Random Access Stored Program）的程序可以修改，只要将程序放在存储器上就可以。RASP程序没有间接寻址
Alan Turing是怎样对人类计算过程进行概括的？
答：Turing 根据这个过程构造出了一个计算模型，称之为Turing机。
这个计算模型有一条带子（带子相当于一张纸），带子上有无穷多个方格，每个方格中可以写给定有穷符号表中的一个字符。有一个读写头（读相当于用眼睛来看，写相当于擦或写）。 还有一个有穷状态控制器FSC（相当于人脑），FSC根据当前读到的符号（相当于眼睛看到的）和
自己当前的状态（相当于人脑的决策）决定三件事：
改变读写头当前所指的字母（相当于在纸上改写一些符号），改变（或不改变）自己当前的状态（准备下一步的计算），使读写头左移或右移或不动（相当于改变眼睛看到的范围）。
Church-Turing Thesis的内容是什么？它有什么意义？
答：任何合理的计算模型都是相互等价的（计算范围相同）。
合理：单位时间内可以完成的工作量，有一个多项式的上限。不合理举例：任意多道的并行计算。由于有"任何"二字，故无法进行证明。但迄今为止所有被提出的合理计算模型均满足该论题。
这个论题说明：可计算性本身是不依赖于具体模型的客观存在。
RAM程序、RASP程序与Turing机相互之间的时间复杂度关系是怎样的（考虑两种耗费标准）？
答：任何一个RAM程序，都可由一个RASP程序来模拟实现，且时间复杂性数量级相同（不论哪一种耗费标准）。即如果RAM程序的时间复杂度为T(n)，则RASP实现同样功能的程序的时间复杂度为kT(n)（k为常数）。
当一台TM的时间复杂度为T(n)时，模拟该TM的RAM程序的对数耗费不超过O(T(n)logT(n))； 而当一不含乘、除法指令的RAM程序的对数耗费为T(n)时，模拟该程序的TM的时间复杂度不超过O(T2(n))；当一含有乘、除法指令的RAM程序的对数耗费为T(n)时，
模拟该程序的TM的时间复杂度不超过O(T3(n))。
在对数耗费的标准下， RAM，RASP与TM是多项式相关的计算模型。
RASP程序如何模拟RAM程序？RAM如何模拟Turing机？ Turing机如何模拟RAM？
答：RASP程序按下图模拟RAM程序：
在模拟过程中，RASP的第r+i号寄存器 始终对应于RAM的第i号寄存器，RASP的R1作为暂存器。 R0与r0在一条指令的模拟过程中可能不对应，但在一条指令模拟的开始和结束时一定对应。
模拟非间址寻址指令时，先将指令对应的编码放入j寄存器，若操作数为"=i"，则去掉"="，将i放入j+1寄存器，若操作数为"i"，要看i是否为0：i为0时，将0放入j+1寄存器，i>0时，将r+i放入j+1寄存器。间址寻址的RAM指令，可以用一组RASP指令来模拟实现。
RAM模拟TM的方法如下图：
模拟时存储内容的对应方法按上图所示。TM的k个带头的位置分别放在RAM的单元r1至rk中，即第j个单元的内容C(j)就是第j个带头在第j条带上的当前位置。c为RAM存储器中存放a0的单元之前的单元编号。k条带上的首格内容（分别为a0,b0,⋯,z0）存放在 第c号单元后的k个单元中；其后再放k条带上的次格内容（分别为a1,b1,⋯,z1）；因此，TM的第j条带当前扫描着的单元的内容是存放在RAM存储器的第c+k*C(j)+j个单元中，即内容为C(c+k*C(j)+j)。
（C(j)是第j个带头的当前位置，而位置的计数是从0开始的）。.：第二条带第1个格子中的内容放在第c+k*1+2号单元。
TM模拟RAM的方法如下图：
用5带TM来模拟RAM程序的过程：
带1用来记录内容为非0的RAM寄存器的编号及该寄存器的内容。带2存放RAM累加器r0中的内容α0，带3作为暂存工作带。带4上放RAM输入带上的内容，带5上放输出。
Turing机所接受的语言是什么样的语言? 各种语言之间有什么样的关系？
答：Turing可计算函数部分递归函数。
递归可枚举集>（完全）递归集>原始递归集
部分递归函数>完全递归函数>原始递归函数
非确定性Turing机与确定性Turing机的主要区别在什么地方？
答：与DTM不同的是，NDTM的每一步动作允许有若干个选择，对于给定的Q×Tk的一个元素（qi, a1, a2,⋯, ak），它的δ转移函数值不是对应于一个Q×(T×{L,R,S})k中的一个元素，而是对应于Q×(T×{L,R,S})k中的一个子集。
与DTM不同的是，DTM的 ID序列是线性的: ID0├ ID1├ ID2├ ┅├ IDm， 而NDTM的ID序列通常是用树来描述的 （因为在每个格局都可能有多个选择）。
NDTM的另一种解释是，每当遇到n个（n≥2）选择时， NDTM就把自身复制n个，让它们进行并行的计算。 由于具有任意多道并行计算的能力，
非确定性Turing机的时间复杂度是如何定义的？
答：NDTM的时间复杂度T(n): 对于可接受的输入串， T(n)=max{关于输入ω的时间复杂度 | ω的长为n且被该NDTM接受} 即先求出每一个被接受ω的最短路径长度，然后对这些长度求最大。
什么是P类与NP类语言？如不用非确定性Turing机的概念，如何定义P类与NP类的问题？答：语言族P=﹛L|L是一个能在多项式时间内被一台DTM接受的语言﹜
NP=﹛L|L是一个能在多项式时间内被一台NDTM接受的语言﹜
不需要NDTM概念的NP问题的定义
设S是一个集合，若某个判定问题A的所有解均属于S， 则S中的一个元素称为问题A的一个证书（certificate），S被称为是A的证书所构成的集合。对判定问题类A，若存在一个由A的证书所构成的集合S （S中含有A的全部解），且存在一个算法F，对S中的每一个证书α， F可在多项式时间里验证α是否为A的一个解，则称A∈NP。 （该定义与用NDTM概念的NP类定义是等价的。）
称P类问题是多项式时间可解的。 称NP类问题是多项式时间可验证的。
Karp多项式规约是如何表述的？它与Cook多项式规约之间的关系如何？
答：Karp规约：设L、L0分别是字母表∑、∑0上的语言（字符串的集合），
若存在两个闭包间的一个变换f：∑*→∑∗，满足
1） ∀ω∈∑*，ω∈L⇔f(ω)∈L0；
2） 若ω 的长为n，则f(ω)的长不超过PL(n)，这里PL(n)是一个多项式；
3） 任取ω∈∑*，设ω的长度为n，则f (ω)在多项式时间p(n)内可计算。
则称L可多项式变换为L0，记作L≤p L0。
它和Cook规约的关系是Karp的要求严，Cook的要求松，即满足Karp就满足Cook。
至今尚未发现满足Cook而不满足Karp的语言，即两者大体等价。Karp的定义简洁，Cook的定义繁琐。
什么是NP-完全性语言？什么是NP-完全性问题？什么是NP-hard问题？
答：NP-完全性语言
定义1（狭义，Karp）：称满足下述2条的语言L0是NP-C的：
1)L0∈NP; 2) ∀L∈NP，都有L≤pL0。
NP-完全性问题 ：若某个判定问题进行编码后，所对应的语言L0是NP-C的， 则称该问题是NP-C的。
有些最优化问题（对应的编码ω∈L0）可以满足 NP-完全性定义的第2条要求：∀L∈NP，都有L≤p L0。 满足上述条件的问题被称为NP-hard问题。
引入NP-完全性概念有什么意义？列举20个NP-完全性或NP-hard问题。
答：如果存在一台DTM在多项式时间里接受某个NP-C语言，
则所有NP类语言均可找到DTM在多项式时间里接受，从而有P=NP。
如果某个NP类语言不存在DTM在多项式时间里接受（即P≠NP），
则所有NP-C语言都不存在DTM在多项式时间里接受，
即有NP-C∩P=Φ。
什么是算法A对于实例I的近似比、A的绝对近似比和渐进近似比？
答：算法A对于实例I的近似比(ratio factor) =RA(I)=max{A(I)/OPT(I),OPT(I)/A(I)}
由于是取max，故近似比总是大于等于1的。
绝对近似比rA=Inf{RA(I)} 对一切 即算法A对于一切实例I的近似比的最小上界（相当于最大值）。
渐进近似比rA=sup{r≥1| 存在正整数n0， 使得对于所有OPT(I)≥n0的实例，都有≤r} 即反映了近似比的收敛情况，它允许OPT(I)较小的实例的近似比大于rA。
什么是多项式时间近似方案（PTAS）？什么是完全多项式时间近似方案（FPTAS，FPAS）？
答：多项式时间近似方案 （PTAS, Polynomial Time Approximation Scheme）
设ε是求解某类问题的多项式时间近似算法，
ε＞0也作为该算法的输入。如果对每一个给定的ε，
的绝对近似比≤1＋ε，则称A 是一个PTAS。
完全多项式时间近似方案 （FPTAS，FPAS, Fully Polynomial Time Approximation Scheme）
如果一个PTAS 以某个二元多项式函数p(|I|,1/ε)
为时间复杂度上界，则称ε是一个FPTAS。
什么是伪多项式时间的算法？如何用动态规划法求解背包问题？
答：定义：设实例I的输入规模为n，实例中的最大数为max(I)， 若算法的时间复杂性以某个二元多项式p(n,max(I))为上界， 则称该算法是伪多项式时间的算法。
动态规划法。对0≤k≤n，0≤b≤B，设f(b)为：
装前k件物品中若干件、且体积和不超过b时可得到的最大价值。
因此，f(B)就是该问题的最优解。
根据f(b)的定义可知子问题具有最优子结构性质。
另外，引入初值均为0的二维数组x，每一个数组元素x[k,b]记录：
当体积限制为b时，uk是否被选中，1为被选中，0为未被选中。
初始当k=0时，有(b)=0（0≤b≤B），此为递推计算的基础值。
设对b∈[0,B]，(b)，(b)，⋯，f(b)均已计算出来，
此时需要对区间[0,B]中的整数b（即0≤b≤B），逐一求出(b)。
考虑b与sk的关系。
若b < sk，则对于体积限制b，物品uk根本不能装（太大了），
∴x[k,b]应为0（即此时不选物品uk）；同时执行fk(b)←fk-1(b)。
（实际执行时，只要对小于sk的b，执行fk (b)←fk-1 (b)。）
若b≥sk，就要看把一些物品取出，再把物品uk放入，
所得的总价值是否比不装物品uk（其总价值为fk-1 (b)）时大。
而装物品uk时，可获得的最大价值为fk-1 (b-sk)+ck。
这里的fk-1 (b-sk)是：当体积限制不超过b-sk时，
装前k-1件物品中的若干件，可得到的最大价值。
若fk-1 (b-sk)+ck >(b)，则物品uk应装入，
即此时要执行x[k,b]←1，以及fk (b)←fk-1 (b-sk)+ck。
否则应执行x[k,b]←0，以及fk (b)←fk-1 (b)。
按上述方法，当执行到k=n，b=B时，最优解的值即为(B)。
这部分算法的时间复杂度为O(nB)。
上述计算完毕之后，再根据x数组内容，找出应取哪几件物品。
置初值b=B，循环从j=n开始，检查x[j,b]：
若x[j,b]=0，则表示uj未被选中，故不做动作，直接执行j←j-1；
若x[j,b]=1，则表示uj被选中，把j放入集合S中（S初始为空），
然后执行b←b-sj以及j←j-1。
循环一直执行到j=1的判断完成后为止。算法时间复杂度为O(n)。
从而整个算法的时间复杂度为O(nB)。
注意B与输入规模n无关，故nB不是输入规模的多项式函数。
因此，算法是伪多项式时间的算法。
NP-hard问题在PNP的假定之下，可以分成哪4类（举例）？
答：NP-hard问题在P≠NP的假定之下，可以分成4类：
1、 有FPTAS（）
2、 有PTAS而没有FPTAS（. k-Knapsack）
3、 没有PTAS，但有绝对近似比为常数的近似算法(Bin-Packing)
4、 没有绝对近似比为常数的近似算法(. TSP)
为什么当k≥2，k背包问题不存在FPTAS，除非P=NP？
答：反证法：设A是该问题的FPTAS，时间复杂度上界为P(|I|,1/ε)，
对每个实例I，令ε=1/2ncmax，将I和ε作为A的输入，
由于A是FPTAS，故有OPT(I)≤(1+ε)A(I)，
∴0≤OPT(I)-A(I)≤εA(I)≤ε≤εncmax=。
但OPT(I)和A(I)都是正整数，∴OPT(I)=A(I)，
故A(I)是最优化算法，其时间复杂度上界为p(n，2ncmax)。
利用算法A来构造k等分割问题的算法A'：
对于k等分割的任一实例I，即n个正整数sj (1≤j≤n)，
构造k背包问题的实例I'：物品j的体积为sj，
价值cj=1(1≤j≤n)，背包容量Bi=(1≤i≤k)。
将该实例I'和ε==作为A的输入，求得I'的最优解A(I')；
当且仅当OPT(I')=n（把所有物品均装入k个背包）时，
A'对I回答为"Yes"。
注意，k等分割有解 iff A'回答为"Yes"
由于根据I构造I'仅需O(n)时间，|I'|=|I|=n，ε=，
而A算法的时间复杂度上界不超过p(n,)=p(n,2n)，
是关于n的多项式，∴A'是k等分割问题的多项式时间算法，
即找到了一个求解NP-C问题的多项式时间算法，
∴P=NP，与P≠NP矛盾。
结论：假设P≠NP，则k背包问题没有FPTAS。