自适应卡尔曼滤波（包括EKF、UKF、CKF等）的创新思路——该调什么、不该调什么

时间：2024-12-12 20:41:28

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在调节自适应卡尔曼滤波时，需要注意的参数和矩阵都对滤波器的性能有直接影响。本文给出详细的说明，包括相关公式和 MATLAB 代码示例

文章目录

  • 需要调节的参数
    • 1. **过程噪声协方差矩阵 Q Q Q**：
    • 2. **测量噪声协方差矩阵 R R R**：
    • 3. **初始状态估计 X 0 X_0 X0​和初始误差协方差 P 0 P_0 P0​：
    • 4. **自适应增益**：
  • 不建议调节的参数或矩阵
    • 1. **状态转移矩阵 \(F\)**：
    • 2. **观测矩阵 \(H\)**：
    • 3. **状态维度和观测维度**：
  • 示例代码
  • 总结

需要调节的参数

1. 过程噪声协方差矩阵 Q Q Q：

  • 公式：通常表示为 Q = σ w 2 I Q = \sigma_w^2 I Q=σw2​I，其中 I I I 为单位矩阵， σ w 2 \sigma_w^2 σw2​ 是过程噪声的方差。
  • 调节方法：在动态变化较大的环境中，可以适当增加 (Q) 的值，以提高滤波器对变化的适应性。

MATLAB 示例：

Q = 0.01 * eye(n); % 过程噪声协方差矩阵

2. 测量噪声协方差矩阵 R R R：

  • 公式：通常表示为 R = σ v 2 I R = \sigma_v^2 I R=σv2​I，其中 σ v 2 \sigma_v^2 σv2​ 是测量噪声的方差。
  • 调节方法：在测量噪声较大时，可以适当增大 R R R，使滤波器更不敏感于测量的波动。

MATLAB 示例：

R = 0.25 * eye(m); % 测量噪声协方差矩阵

3. **初始状态估计 X 0 X_0 X0​和初始误差协方差 P 0 P_0 P0​：

  • 初始状态 X 0 X_0 X0​ 通常可以设为系统的期望初始值。
  • 初始误差协方差 P 0 P_0 P0​ 通常设为较大的值，表示对初始状态的不确定性。

MATLAB 示例：

X_0 = zeros(n, 1); % 初始状态估计
P_0 = 100 * eye(n); % 初始误差协方差

4. 自适应增益：

  • 自适应卡尔曼滤波器通常会根据实际的测量噪声和过程噪声在线调整 Q Q Q 和 R R R。
  • 公式：更新规则可以采用：
    K = P p r e H T ( H P p r e H T + R ) − 1 K = P_{pre} H^T (H P_{pre} H^T + R)^{-1} K=Ppre​HT(HPpre​HT+R)−1
  • 其中 (K) 为卡尔曼增益，(P_{pre}) 为先验协方差。

MATLAB 示例：

K = P_pre * H' / (H * P_pre * H' + R); % 卡尔曼增益计算

不建议调节的参数或矩阵

状态矩阵、观测矩阵（当然也包括状态方程和状态方程）等是系统的固有属性，一般不自适应调整。

1. 状态转移矩阵 (F)：

  • 该矩阵定义了系统的动态模型，通常在设计时确定。随意调整可能会导致模型不稳定。
  • 公式：状态更新公式为：
    X k = F X k − 1 + w k X_k = F X_{k-1} + w_k Xk​=FXk−1​+wk​

2. 观测矩阵 (H)：

  • 该矩阵描述了状态与测量之间的关系，通常在系统设计时固定。
  • 公式：测量更新公式为：
    Z k = H X k + v k Z_k = H X_k + v_k Zk​=HXk​+vk​

3. 状态维度和观测维度：

  • 状态和观测的维度通常在设计时就确定，随意更改将导致不必要的复杂性和不稳定性。

示例代码

以下是一个简单的卡尔曼滤波器的 MATLAB 代码示例：

% 初始化
n = 4; % 状态维度
m = 2; % 观测维度
Q = 0.01 * eye(n); % 过程噪声协方差矩阵
R = 0.25 * eye(m); % 测量噪声协方差矩阵
X_pre = zeros(n, 1); % 先验状态估计
P_pre = 100 * eye(n); % 先验误差协方差
F = eye(n); % 状态转移矩阵
H = eye(m, n); % 观测矩阵

for k = 1:100
    % 生成真实状态和测量值
    X_true = F * X_pre; % 状态更新
    Z = H * X_true + sqrt(R) * randn(m, 1); % 观测更新

    % 卡尔曼滤波步骤
    % 先验估计
    X_pre = F * X_pre; % 先验状态估计
    P_pre = F * P_pre * F' + Q; % 先验协方差估计

    % 卡尔曼增益计算
    K = P_pre * H' / (H * P_pre * H' + R); % 卡尔曼增益

    % 更新状态估计
    X_pre = X_pre + K * (Z - H * X_pre); % 更新状态
    P_pre = (eye(n) - K * H) * P_pre; % 更新协方差
end

总结

在自适应卡尔曼滤波中，关键参数如过程噪声和测量噪声协方差矩阵需要根据环境和需求进行调节，而状态转移矩阵和观测矩阵应保持不变以确保模型的稳定性和可靠性。通过适当的调整和算法设计，可以显著提高滤波器的性能。

如有自适应滤波相关的定制需求，可联系文末的卡片

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