转自:/ECJTUACM-873284962/p/
1、蒙特卡罗法
蒙特卡罗方法又称统计模拟法、随机抽样技术,是一种随机模拟方法,以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法,是使用随机数(或更常见的伪随机数)来解决很多计算问题的方法。将所求解的问题同一定的概率模型相联系,用电子计算机实现统计模拟或抽样,以获得问题的近似解。为象征性地表明这一方法的概率统计特征,数学家冯·诺依曼用闻名世界的赌城——蒙特卡罗命名(就是那个冯·诺依曼)。
蒙特卡罗方法解题过程的主要步骤:
a.针对实际问题建立一个简单且便于实现的概率统计模型,使所求的量恰好是该模型的概率分布或数字特征。
b.对模型的随机变量建立抽样方法,在计算机上进行模拟测试,抽取足够多的随机数。
c.对模拟实验结果进行统计分析,给出所求解的“估计”。
d.必要时,改进模型以提高估计精度和减少实验费用,提高模拟效率。
2、冯▪诺依曼
冯·诺依曼(John von Neumann,1903~1957),20世纪最重要的数学家之一,在现代计算机、博弈论和核武器等诸多领域内有杰出建树的最伟大的科学全才之一,被称为“计算机之父”和“博弈论之父”。主要贡献是:二进制思想与程序内存思想,当然还有蒙特卡洛方法。通过第一部分,可知,蒙特卡洛方法更多的是一种思想的体现(这点远不同于快排等“严格”类算法),下面介绍最常见的一种应用——随机数生成。
3、U(0,1)随机数的产生
对随机系统进行模拟,便需要产生服从某种分布的一系列随机数。最常用、最基础的随机数是在(0,1)区间内均匀分布的随机数,最常用的两类数值计算方法是:乘同余法和混合同余法。
乘同余法:
其中,
x0
x
0
被称为种子,
M
M
是模,是(0,1)区间的随机数。
混合同余法:
其中,C是非负整数。
这些随机数是具有周期性的,模拟参数的选择不同,产生的随机数质量也有所差异。更复杂的生成方法还有:
4、从U(0,1)到其它概率分布的随机数
(a)离散型随机数的模拟
设随机变量X的概率分布为:
p(X=xi)=pi
p
(
X
=
x
i
)
=
p
i
,分布函数有
P(0)=0,P(n)=∑pi
P
(
0
)
=
0
,
P
(
n
)
=
∑
p
i
,设随机变量U~U(0,1)的均匀分布,则
p(P(n−1)<u<P(n)−P(n−1)=p(n))
p
(
P
(
n
−
1
)
<
u
<
P
(
n
)
−
P
(
n
−
1
)
=
p
(
n
)
)
表明
X=xn(即pn)
X
=
x
n
(
即
p
n
)
的概率与随机变量u落在
P(n−1)
P
(
n
−
1
)
与
P(n)
P
(
n
)
之间的概率相同。
例如:离散随机变量X有分布律
X | 0 | 1 | 2 |
P(x) | 0.3 | 0.3 | 0.4 |
U是(0,1)的均匀分布,则有
这样得到的x便具有X的分布律。
(b)连续型随机变量的模拟
常用的有两种方法:逆变换法和舍选法。
逆变换法:设随机变量Y的分布函数为F(y)是连续函数,而U是(0,1)上均匀分布的随机变量。另
X=F−1(U)
X
=
F
−
1
(
U
)
,则X和Y具有相同的分布。
证明:由定义知,X的分布函数:
所以X和Y具有相同的分布。这样计算得
F−1(∙)
F
−
1
(
•
)
,带入均匀分布的U,即可得到服从
f(∙)
f
(
•
)
的随机数Y。
例如:设X~U(a,b),则其分布函数为:
则
所以生成U(0,1)的随机数U,则
a+(b−a)u
a
+
(
b
−
a
)
u
便是来自U(a,b)的随机数。有些随机变量的累计分布函数不存在或者难以求出,即使存在,但计算困难,于是提出了
舍选法:要产生服从
p(x)
p
(
x
)
的随机数,设x的值域为[a,b],抽样过程如下:
1、已知随机分布
Q(x)
Q
(
x
)
且x的取值区间也为[a,b],并要求
c×Q(x)﹥p(x),xϵ[a,b]
c
×
Q
(
x
)
﹥
p
(
x
)
,
x
ϵ
[
a
,
b
]
,如图
2、从
Q(x)
Q
(
x
)
中随机抽样得
x∗
x
∗
,然后由
U(0,c×Q(x∗))
U
(
0
,
c
×
Q
(
x
∗
)
)
的均匀分布抽样得
u
u
。
3、接受或舍弃取样值,如果
u>P(x∗)
u
>
P
(
x
∗
)
舍弃该值;返回上一步,否则接受。几何解释如下:
常数c的选取:c应该尽可能地小,因为抽样效率与c成反比;一般取
c=maxP(x)/Q(x),xϵ[a,b]
c
=
m
a
x
P
(
x
)
/
Q
(
x
)
,
x
ϵ
[
a
,
b
]
。这里的
Q(x)
Q
(
x
)
可以取均匀分布,这样由第二种中两个均匀分布便能得到其他任意分布的模拟抽样。
5、正态随机数的生成
除了上面的反函数法和舍选法,正态随机数还可以根据中心极限定理和Box Muller(坐标变换法)得到。
中心极限定理:如果随机变量序列
X1,X2,...,Xn,..
X
1
,
X
2
,
.
.
.
,
X
n
,
.
.
独立同分布,并且具有有限的数学期望和方差
E(Zi)=μ,D(Xi)=σ2(i=1,2,...)
E
(
Z
i
)
=
μ
,
D
(
X
i
)
=
σ
2
(
i
=
1
,
2
,
.
.
.
)
,则对于一切x∈R有
也就是说,当n个独立同分布的变量和,服从
N(nμ,nσ2)
N
(
n
μ
,
n
σ
2
)
的正态分布(n足够大时)。
设n个独立同分布的随机变量
U1,U2,...,Un
U
1
,
U
2
,
.
.
.
,
U
n
,它们服从U(0,1)的均匀分布,那么
渐近服从正态分布
N(0,1)
N
(
0
,
1
)
。
Box Muller方法,设(X,Y)是一对相互独立的服从正态分布
N(0,1)
N
(
0
,
1
)
的随机变量,则有概率密度函数:
令
x=Rcosθ,y=Rsinθ
x
=
R
c
o
s
θ
,
y
=
R
s
i
n
θ
,其中
x∈(0,2π)
x
∈
(
0
,
2
π
)
,则R有分布函数:
令
FR(r)=1−e−r22
F
R
(
r
)
=
1
−
e
−
r
2
2
,则分布函数的反函数得:
如果
U1
U
1
服从均匀分布U(0,1),则R可由
−2lnU1−−−−−−√
−
2
l
n
U
1
模拟生成(
(1−U1)
(
1
−
U
1
)
也为均匀分布,可被
U1
U
1
代替)。令
θ
θ
为
2πU2
2
π
U
2
,
U2
U
2
服从均匀分布U(0,1)。得:
X和Y均服从正态分布。用Box Muller方法来生成服从正态分布的随机数是十分快捷方便的。
下面介绍几种简单的随机数的算法
1、 生成随机数
一般c语言中提供了随机数生成函数,
其一是伪随机数–rand:用于返回一个0-32767之间的伪随机数;
其二是随机种子函数–srand:用来初始化随机数发生器的随机种子
#include <>
#include <>
#include <>
int main()
{
int i,j;
srand((int)time(0));
for (int i = 0; i < 10; i++)
{
for (int j = 0; j < 10; j++)
{
printf("%d ",rand());
}
printf("\n");
}
return 0;
}
当然也可以生成一定范围内的随机数,比如生成0——100之间的随机数。
#include <>
#include <>
#include <>
int main()
{
int i,j;
srand((int)time(0));
for (int i = 0; i < 10; i++)
{
for (int j = 0; j < 10; j++)
{
printf("%d ",rand()*100/32767);
}
printf("\n");
}
return 0;
}
也可以生成100——200之间的随机数
#include <>
#include <>
#include <>
int main()
{
int i,j;
srand((int)time(0));
for (int i = 0; i < 10; i++)
{
for (int j = 0; j < 10; j++)
{
printf("%d ",rand()/1000+100);
}
printf("\n");
}
return 0;
}
使用rand()函数获取一定范围内的一个随机数,如果想要获取在一定范围内的数的话,直接做相应的除法取余即可。
#include<iostream>
#include<ctime>
using namespace std;
int main()
{
srand(time(0));
for(int i=0;i<10;i++)
{
//产生10以内的整数
cout<<rand()%10<<endl;
}
}
2 、生成[0,1]之间均匀分布的随机数算法
在这里采用第二种方式生成随机数。其中i=1,2,3.。。。而pi就是地推倒的第i个随机数,根据经验,一般选取基数base=256.0,一般为2的整数倍;另外的两个常数选取a=17.0 和b=139.0,需要注意:
(1)这里的取模运算是针对浮点型数据的,而c语言中的取模运算不能用于浮点数数据的操作,这样就需要用户自己编写取模的程序;
(2)ri是随着递推而每次更新的。因此,如果将这个算法编写出函数,需要考虑参数是传值还是传地址;
递推更新,所以在这里要传地址,否则得不到结果!
#include <>
double rand0_1(double *r)
{
double base=256.0;
double a=17.0;
double b=139.0;
double temp1=a*(*r)+b;
//printf("%lf",temp1);
double temp2=(int)(temp1/base); //得到余数
double temp3=temp1-temp2*base;
//printf("%lf\n",temp2);
//printf("%lf\n",temp3);
*r=temp3;
double p=*r/base;
return p;
}
int main()
{
double r=5.0;
printf("output 10 number between 0 and 1:\n");
for (int i = 0; i < 10; i++)
{
printf("%10.5lf\n",rand0_1(&r));
}
return 0;
}
3 、产生任意范围内的随机数
比如产生[m,n]之间的随机数,这个很容易,只要将之前的[0,1]之间的随机数这样处理就行了,m+(m-n)*rand0_1(&r)就行了。
#include <>
double rand0_1(double *r)
{
double base=256.0;
double a=17.0;
double b=139.0;
double temp1=a*(*r)+b;
//printf("%lf",temp1);
double temp2=(int)(temp1/base); //得到余数
double temp3=temp1-temp2*base;
//printf("%lf\n",temp2);
//printf("%lf\n",temp3);
*r=temp3;
double p=*r/base;
return p;
}
int main()
{
double m=1.0,n=5.0;
double r=5.0;
printf("output 10 number between 0 and 1:\n");
for (int i = 0; i < 10; i++)
{
printf("%10.5lf\n",m+(n-m)*rand0_1(&r));
}
return 0;
}
4、正态分布的随机数生成算法
符合正太分布的随机数在研究中也很重要,下面给出一种生成正态分布数的方法
其中Ri表示[0,1]之间均匀分布的随机数;u为均值, σ2 σ 2 为方差,当n趋向于无穷大的时候,得到随机的随机分布为正态分布;
#include <>
#include <>
double rand0_1(double *r)
{
double base=256.0;
double a=17.0;
double b=139.0;
double temp1=a*(*r)+b;
//printf("%lf",temp1);
double temp2=(int)(temp1/base); //得到余数
double temp3=temp1-temp2*base;
//printf("%lf\n",temp2);
//printf("%lf\n",temp3);
*r=temp3;
double p=*r/base;
return p;
}
double random_normality(double u,double t,double *r ,double n)
{
double total=0.0;
double result;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
total+=rand0_1(r);
}
result=u+t*(total-n/2)/sqrt(n/12);
return result;
}
int main()
{
double r=5.0;
double u=2.0;
double t=3.5;
double n=12;
printf("output 10 number between 0 and 1:\n");
for (int i = 0; i < 10; i++)
{
printf("%10.5lf\n",random_normality(u,t,&r,n));
}
return 0;
}
补充知识点:leveldb中使用了一个简单的方式来实现随机化数;算法的核心是seed_ =(seed_ * A) % M,下面把源代码贴出来,不难,可以和上面的参考下
private:
uint32_t seed_;
public:
explicit Random(uint32_t s) : seed_(s & 0x7fffffffu) {
// Avoid bad seeds.
if (seed_ == 0 || seed_ == 2147483647L) {
seed_ = 1;
}
}
uint32_t Next() {
static const uint32_t M = 2147483647L; // 2^31-1
static const uint64_t A = 16807; // bits 14, 8, 7, 5, 2, 1, 0
// We are computing
// seed_ = (seed_ * A) % M, where M = 2^31-1
//
// seed_ must not be zero or M, or else all subsequent computed values
// will be zero or M respectively. For all other values, seed_ will end
// up cycling through every number in [1,M-1]
uint64_t product = seed_ * A;
// Compute (product % M) using the fact that ((x << 31) % M) == x.
seed_ = static_cast<uint32_t>((product >> 31) + (product & M));
// The first reduction may overflow by 1 bit, so we may need to
// repeat. mod == M is not possible; using > allows the faster
// sign-bit-based test.
if (seed_ > M) {
seed_ -= M;
}
return seed_;
}
// Returns a uniformly distributed value in the range [0..n-1]
// REQUIRES: n > 0
uint32_t Uniform(int n) { return Next() % n; }
// Randomly returns true ~"1/n" of the time, and false otherwise.
// REQUIRES: n > 0
bool OneIn(int n) { return (Next() % n) == 0; }
// Skewed: pick "base" uniformly from range [0,max_log] and then
// return "base" random bits. The effect is to pick a number in the
// range [0,2^max_log-1] with exponential bias towards smaller numbers.
uint32_t Skewed(int max_log) {
return Uniform(1 << Uniform(max_log + 1));
}
};
总之,做个简单的总结
C语言/C++怎样产生随机数:这里要用到的是rand()函数, srand()函数,和time()函数。
需要说明的是,iostream头文件中就有srand函数的定义,不需要再额外引入;而使用time()函数需要引入ctime头文件。
使用rand()函数获取一个随机数
如果你只要产生随机数而不需要设定范围的话,你只要用rand()就可以了:rand()会返回一随机数值, 范围在0至RAND_MAX 间。RAND_MAX定义在, 其值为2147483647。
使用rand函数和time函数
我们上面已经可以获取随机数了,为什么还需要使用time函数呢?我们通过多次运行发现,该程序虽然生成了10个随机数,但是这个10个随机数是固定的,也就是说并不随着时间的变化而变化。
这与srand()函数有关。srand()用来设置rand()产生随机数时的随机数种子。在调用rand()函数产生随机数前,必须先利用srand()设好随机数种子(seed), 如果未设随机数种子, rand()在调用时会自动设随机数种子为1。
上面的例子就是因为没有设置随机数种子,每次随机数种子都自动设成相同值1 ,进而导致rand()所产生的随机数值都一样。
srand()函数定义 : void srand (unsigned int seed);
通常可以利用geypid()或time(0)的返回值来当做seed
如果你用time(0)的话,要加入头文件#include
time(0)或者time(NULL)返回的是系统的时间(从1970.1.1午夜算起),单位:秒
作者: Angel_Kitty
出处:/ECJTUACM-873284962/
版权声明:本文版权归作者和博客园共有,欢迎转载,但未经作者同意必须保留此段声明,且在文章页面明显位置给出原文链接。<