第十一章 学习笔记（Rotation About a Fixed Axis）
这一章主要引入了力偶的概念。一对作用在刚体上方向相反，大小相同的力称为力偶。**力偶 ** 对刚体上任意一点的力矩都是相同的。
D
=
l
×
F
\mathbf D = \mathbf l \times \mathbf F
D=l×F
其中
l
\mathbf l
l 是从
−
F
-\mathbf F
−F 指向
F
\mathbf F
F 的，具体可以参考下图。
我们需要强调的是，力偶矢量是可以平移的，这点和普通的力矩矢量是完全不同的。两个力偶，重要他们的大小和方向相同，那么对刚体的作用就是相同的。所以，力偶中的两个力是可以随便移动的，只要保证 D \mathbf D D 不变就行。
第二个重要的概念是作用在刚体上的任意一个力，都可以分解为其他位置的一个力在加上一个力偶。具体可以看下面的图。一个作用在 P 1 P_1 P1 点力 F 1 \mathbf F_1 F1 可以平移到 O ′ O' O′ 点，只要我们在 O ′ O' O′ 点再加一个反向的力 − F 1 -\mathbf F_1 −F1。 P 1 P_1 P1 点的 F 1 \mathbf F_1 F1 和 O ’ O’ O’ 点的 − F 1 -\mathbf F_1 −F1 额可以组成一个力偶。这样 P 1 P_1 P1 点的 F 1 \mathbf F_1 F1 就可以用 O ′ O' O′ 点的 F 1 \mathbf F_1 F1 和一个力偶来代替了。
也可以把 P 1 P_1 P1 点的 F 1 \mathbf F_1 F1 用 O O O 点的力和一个力偶来表示。
因此，无论作用在刚体上的力有多少，我们都可以用一个合力 F \mathbf F F 和 一个 力偶 D \mathbf D D 来代替。通常，为了后续计算方便，我们会让这个合力 F \mathbf F F 通过质心。
11.1 Moment of Inertia (Elementary Consideration)
类似于质量，我们可以引入转动惯量这个概念。对于绕固定的
z
z
z 轴旋转的刚体。它的动能和动量可以表示为：
T
=
1
2
∑
m
i
v
i
2
=
ω
2
2
∑
m
i
r
i
2
=
1
2
ω
2
Θ
L
=
∑
m
i
v
i
=
ω
∑
m
i
r
i
=
ω
Θ
Θ
=
∑
m
i
r
i
T = \frac{1}{2}\sum m_i v_i^2 = \frac{\omega^2}{2}\sum m_i r_i^2 = \frac{1}{2} \omega^2 \Theta \\ L = \sum m_i v_i = \omega \sum m_i r_i = \omega \Theta \\ \Theta = \sum m_i r_i
T=21∑mivi2=2ω2∑miri2=21ω2ΘL=∑mivi=ω∑miri=ωΘΘ=∑miri
Steiner’s Theorem （平行轴定理）
这个是一个非常有用的定理。如果我们已知通过质心的轴 AB 的转动惯量 Θ s \Theta_s Θs ，另一个轴 A’B’ 平行于 AB 轴，距离AB 轴 d,那么相对这个轴的转动惯量为： Θ = Θ s + M d 2 \Theta = \Theta_s + M d^2 Θ=Θs+Md2 。
证明过程可以参考下图。
Θ
s
=
∑
m
v
∣
r
v
×
e
∣
2
Θ
=
∑
m
v
∣
r
v
′
×
e
∣
2
\Theta_s = \sum m_v |\mathbf r_v \times \mathbf e|^2 \\ \Theta = \sum m_v |\mathbf r'_v \times \mathbf e|^2
Θs=∑mv∣rv×e∣2Θ=∑mv∣rv′×e∣2
简单化简一下就可以得到结果：
Θ
=
∑
m
v
∣
r
v
′
×
e
∣
2
=
∑
m
v
∣
(
r
v
−
b
)
×
e
∣
2
=
∑
m
v
∣
(
r
v
×
e
)
−
(
b
×
e
)
∣
2
=
∑
m
v
∣
(
r
v
×
e
)
∣
2
+
∣
(
b
×
e
)
∣
2
−
2
(
r
v
×
e
)
(
b
×
e
)
=
Θ
s
+
M
b
2
−
2
∑
m
v
(
r
v
×
e
)
(
b
×
e
)
=
Θ
s
+
M
b
2
−
2
(
b
×
e
)
∑
(
m
v
r
v
)
×
e
=
Θ
s
+
M
b
2
\begin{aligned} \Theta &= \sum m_v |\mathbf r'_v \times \mathbf e|^2 \\ &= \sum m_v |(\mathbf r_v-\mathbf b) \times \mathbf e|^2 \\ &= \sum m_v |(\mathbf r_v\times \mathbf e) - (\mathbf b \times \mathbf e)|^2 \\ &= \sum m_v |(\mathbf r_v\times \mathbf e)|^2 +|(\mathbf b \times \mathbf e)|^2 - 2 (\mathbf r_v\times \mathbf e)(\mathbf b \times \mathbf e)\\ &= \Theta_s + Mb^2 - 2\sum m_v (\mathbf r_v\times \mathbf e)(\mathbf b \times \mathbf e) \\ &= \Theta_s + Mb^2 - 2(\mathbf b \times \mathbf e)\sum (m_v \mathbf r_v)\times \mathbf e \\ &= \Theta_s + Mb^2 \end{aligned}
Θ=∑mv∣rv′×e∣2=∑mv∣(rv−b)×e∣2=∑mv∣(rv×e)−(b×e)∣2=∑mv∣(r