数学建模常用算法—模糊综合评价法(FCE)

解决问题

模糊综合评价法是在模糊环境下,考虑了多因素的影响,为了某种目的对一事物作出综合决策的方法。

优点

模糊综合评价法具有结果清晰，系统性强的特点，能较好地解决模糊的、难以量化的问题，适合各种非确定性问题的解决。

缺点

计算复杂，对指标权重矢量的确定主观性较强。
当指标集U较大，即指标集个数凡较大时，在权矢量和为1的条件约束下，相对隶属度权系数往往偏小，权矢量与模糊矩阵R不匹配，结果会出现超模糊现象，分辨率很差，无法区分谁的隶属度更高，甚至造成评判失败，此时可用分层模糊评估法加以改进。

一般步骤

以企业员工考核为例

1. 建立综合评价的因素集

因素集是以影响评价对象的各种因素为元素所组成的一个普通集合，通常用U表示，U = { $u\mathop{{}}\nolimits_{{1}}$ , $u\mathop{{}}\nolimits_{{2}}$ , ··· , $u\mathop{{}}\nolimits_{{n}}$ }，其中元素 $u\mathop{{}}\nolimits_{{i}}$ 代表影响评价对象的第 i 个因素。这些因素，通常都具有不同程度的模糊性。

对员工的表现，需要从多个方面进行综合评判，如员工的工作业绩、工作态度、沟通能力、政治表现等。所有这些因素构成了评价指标体系集合，即因素集，记为：U = {政治表现 $u\mathop{{}}\nolimits_{{1}}$ ，工作能力 $u\mathop{{}}\nolimits_{{2}}$ ，工作态度 $u\mathop{{}}\nolimits_{{3}}$ ，工作成绩 $u\mathop{{}}\nolimits_{{4}}$ }。

2. 建立综合评价的评价集

评价集是评价者对评价对象可能做出的各种结果所组成的集合，通常用V表示， V = { $v\mathop{{}}\nolimits_{{1}}$ , $v\mathop{{}}\nolimits_{{2}}$ , ··· , $v\mathop{{}}\nolimits_{{m}}$ }，其中元素 $v\mathop{{}}\nolimits_{{j}}$ 代表第 j 种评价结果，可以根据实际情况的需要，用不同的等级、评语或数字来表示。

对企业员工的评价有好、良好、中等、较差、很差等。由各种不同决断构成的集合称为评语集，记为：V = {优秀 $v\mathop{{}}\nolimits_{{1}}$ ，良好 $v\mathop{{}}\nolimits_{{2}}$ ，中等 $v\mathop{{}}\nolimits_{{3}}$ ，较差 $v\mathop{{}}\nolimits_{{4}}$ ，很差 $v\mathop{{}}\nolimits_{{5}}$ }。

3. 确定各因素的权重

评价工作中，各因素的重要程度有所不同，为此，给各因素 $u\mathop{{}}\nolimits_{{i}}$ 一个权重 $a\mathop{{}}\nolimits_{{1}}$ ，各因素的权重集合的模糊集，用A表示：A = { $a\mathop{{}}\nolimits_{{1}}$ , $a\mathop{{}}\nolimits_{{2}}$ , ··· , $a\mathop{{}}\nolimits_{{n}}$ }。

在没有数据时，我们可以通过层次分析法确定权重；在有数据时，我们可以通过熵权法确定权重。在案例中，我们确定各因素的权重为：A = {0.25，0.2，0.25，0.3}。

4. 进行单因素模糊评价，获得评价矩阵

若因素集U中第 i 个元素对评价集V中第1个元素的隶属度为 $r\mathop{{}}\nolimits_{{i1}}$ ，则对第 i 个元素单因素评价的结果用模糊集合表示为： $R\mathop{{}}\nolimits_{{i}}$ = { $r\mathop{{}}\nolimits_{{i1}}$ , $r\mathop{{}}\nolimits_{{i2}}$ , ··· , $r\mathop{{}}\nolimits_{{im}}$ }，以 m 个单因素评价集 $R\mathop{{}}\nolimits_{{1}}$ ， $R\mathop{{}}\nolimits_{{2}}$ ，···， $R\mathop{{}}\nolimits_{{n}}$ 为行组成矩阵 $R\mathop{{}}\nolimits_{{n*m}}$ ，称为模糊综合评价矩阵。

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★ 隶属函数的三种确定方法

模糊统计法 (数模比赛中很少用，要设计发放问卷，可能来不及，但实际做研究用的较多)
原理 : 找多个人去对同个模糊概念进行描述，用隶属频率去定义隶属度。
借助已有的客观尺度 (需要有合适的指标，并能收集到数据)
指派法 (根据问题的性质直接套⽤某些分布作为⾪属函数，主观性较强)

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在本案例中，通过专家评审打分，我们得到以下评价矩阵：

5. 建立综合评价模型

确定单因素评判矩阵R和因素权向量A之后，通过模糊变化将U上的模糊向量A变为V上的模糊向量B，即 B = $A\mathop{{}}\nolimits_{{1n}}$ * $R\mathop{{}}\nolimits_{{nm}}$ = { $b\mathop{{}}\nolimits_{{1}}$ ， $b\mathop{{}}\nolimits_{{2}}$ ，···， $b\mathop{{}}\nolimits_{{m}}$ }。