线性变换
关于变换：在两个集合之间可以定义一个映射。当集合为数集时，我们称这个映射为“函数”；当集合为线性空间时，就称这个映射为“变换”（之所以叫变换，隐含了一种运动的思想）。“变换”实际上就是“函数”的一种花哨的说法，只是在线性代数中，变换主要考虑作用的是线性空间中的元素，而不是函数中的数字；线性空间中的元素可以简单理解为向量.
线性变换
定义：设
V
V
V 是一个线性空间，
T
T
T 是
V
V
V 到自身的一个映射，对于
V
V
V 中的任意元素
v
⃗
\vec{v}
v 均存在唯一的
v
′
⃗
∈
V
\vec{v'} \in V
v′∈V 与之对应，则称
T
T
T 为线性空间
V
V
V 上的一个变换，记为
T
v
⃗
=
v
′
⃗
T\vec{v}=\vec{v'}
Tv=v′（注意：“到自身”限定了变换矩阵为方阵？）一个变换可以非常复杂，然而幸运的是，线性变换对变换进行了限定，是一种特殊的变换；向量的线性运算有加法和数量乘法，那么线性变换顾名思义，就是针对向量的线性运算的变换，它满足：
T
(
x
⃗
+
y
⃗
)
=
T
(
x
⃗
)
+
T
(
y
⃗
)
T
(
k
x
⃗
)
=
k
T
(
x
⃗
)
\begin{align} T(\vec{x} + \vec{y}) &= T(\vec{x}) + T(\vec{y}) \\ T(k\vec{x}) &= kT(\vec{x}) \end{align}
T(x+y)T(kx)=T(x)+T(y)=kT(x)
线性变换有一些性质和运算规律，在此做一些举例：
- 线性变换把零元素仍变为零元素（原点固定）；
- 线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组，但线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无关的（例如降维）；
- 线性变换的和 T 1 + T 2 : ∀ x ⃗ ∈ V , ( T 1 + T 2 ) x ⃗ = T 1 x ⃗ + T 2 x ⃗ T_1+T_2\text{:}\quad\forall \vec{x}\in V\text{,}\quad(T_1+T_2)\vec{x}=T_1\vec{x}+T_2\vec{x} T1+T2:∀x∈V,(T1+T2)x=T1x+T2x；
- 线性变换的数乘 k T : ∀ x ⃗ ∈ V , ( k T ) x ⃗ = k ( T x ⃗ ) kT:\quad\forall \vec{x}\in V\text{,}\quad(kT)\vec{x}=k(T\vec{x}) kT:∀x∈V,(kT)x=k(Tx)；
- 线性变换的乘积 T 1 T 2 : ∀ x ⃗ ∈ V , ( T 1 T 2 ) x ⃗ = T 1 ( T 2 x ⃗ ) T_1T_2:\quad\forall \vec{x}\in V\text{,}(T_1T_2)\vec{x}=T_1(T_2\vec{x}) T1T2:∀x∈V,(T1T2)x=T1(T2x)；
通常，线性变换的乘积不满足交换律，且不是所有的变换都具有逆变换；这对应着矩阵的乘积和逆.
线性变换的矩阵表示 ⭐
线性空间是一个非常抽象的概念，线性空间中的元素可以多种多样。线性变换的矩阵表示目的在于：把一个线性空间上的线性变换（元素之间的映射），转化为了坐标之间的变换，并通过矩阵来描述这个变换。对任何线性空间，给定基后，我们对元素进行线性变换或线性运算时，只需用线性变换的矩阵右乘以元素的坐标“向量”即可。注意，实际上在这个变换的过程中，选择的描述这个线性空间 V V V 的基不变。这样的话我们就可以通过矩阵 + 坐标来描述一个线性变换作用于一个抽象向量的过程；每当我们看到一个矩阵时，也都可以理解为是对线性空间（中元素的坐标）的一个线性变换。线性变换的矩阵表示推导过程如下：
考虑线性空间 V V V 中的一个元素（向量） v ⃗ \vec{v} v，显然该向量可以由基 { v 1 ⃗ , v 2 ⃗ . . . , v n ⃗ } \{\vec{v_1},\vec{v_2}...,\vec{v_n}\} {v1,v2...,vn} 和坐标联合进行唯一线性表示，即：
v ⃗ = ∑ 1 n k i v i ⃗ = [ v 1 ⃗ , v 2 ⃗ . . . , v n ⃗ ] [ k 1 k 2 ⋮ k n ] \vec{v} = \sum_1^n k_i\vec{v_i} = \begin{bmatrix}\vec{v_1},\vec{v_2}...,\vec{v_n}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}k_1 \\k_2 \\\vdots \\k_n\end{bmatrix} v