时间复杂度

时间：2024-10-24 19:42:07

目录

  • 算法效率
    • 如何衡量一个算法的好坏
    • 算法的复杂度
  • 时间复杂度
    • 时间复杂度的概念
    • 大O的渐进表示法
    • 常见时间复杂度计算举例

算法效率

如何衡量一个算法的好坏

如何衡量一个算法的好坏呢？比如对于以下斐波那契数列

long long Fib(int N)
{
if(N < 3)
return 1;
return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

斐波那契数列的递归实现方式非常简洁，但是他的复杂度较高

而什么是复杂度呢?

算法的复杂度

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。
比如我们实现循环时，循环内部又嵌套了许多循环

for（int i=0；i<N；i++）
{
	for（int j=0；j<N;j++)
	{
		for（int j=0；j<N;j++)
		{
			....
		}
	}
}

这样的代码时间复杂度就很高

同样的,空间复杂度就是我们创建了很大变量,在创建的过程中他会占用内存的空间,你创建的越多,他的空间消耗的就越多

时间复杂度

时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：算法的时间复杂度是一个函数，描述了该算法的运行时间。
实际上我们并不能算出算法运行的时间,除非用机器运行一遍,才能看到运行的时间(但是每台机器配置可能会有差异,所以运行的时间也会有所不同)

因为一个算法所花费的时间和语句的执行次数成正比,所以我们可以根据算法执行语句的次数去推断时间复杂度

即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度

// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < N ; ++ i)
	{
		for (int j = 0; j < N ; ++ j)
		{
		++count;
		}
	}
	for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

Func1 执行的基本操作次数 ：
N = 10 F(N) = 130
N = 100 F(N) = 10210
N = 1000 F(N) = 1002010
其中F(N)表达式为F(N)=N^2+2*N+10

N^2的来源

for (int i = 0; i < N ; ++ i)
	{
		for (int j = 0; j < N ; ++ j)
		{
		++count;
		}
	}

2*N的来源

for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
	{
		++count;
	}

10的来源

int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}

最后这几个相加就得出了F(N)=N^2+2N+10
实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数（当N趋于无穷时，N^2相对于2N+10起主导地位，也就是说 N^2远大于2N+10）
举个例子,你有10000万元,但是某一天你有100元不见了,你会在意这100吗,这里的100元就是2N+10,我们可以将其忽略,只留下10000万元N^2

大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。(常数表示已经确定的数,他不会趋于无穷,这样的表示就写成1)
例子:

int count = 0；
int M = 10;
while (M--)
{
	count--；
}

F（N）=10，用大O表示就是O（1）
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。(最高项在函数中影响最大,所以保留最高项)
之前的例子

void Func1(int N)
{
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < N ; ++ i)
	{
		for (int j = 0; j < N ; ++ j)
		{
		++count;
		}
	}
	for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数（这里可以理解当N趋于无穷大时，你给他乘非0的数，他仍然是无穷大，所以相乘的常数就忽略）

通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x
最好情况：1次找到
最坏情况：N次找到
平均情况：N/2次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

常见时间复杂度计算举例

例子1:

void Func2(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
		printf("%d\n", count);
}

这里2*N起主导地位，所以为O（N）

例子2:

void Func3(int N, int M)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < M; ++k)
	{
		++count;
	}
	for (int k = 0; k < N; ++k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

不确定M和N的关系我们可以写成O（max（M，N））

例子3:


void Func4(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 100; ++k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

因为这里的循环是确定跑100次的，所以为O（1）（O（1）中的1表示对常数次，即使循环1000亿次，因为循环的次数是确定的，也仍然是O(1)）

例子4:

const char * strchr ( const char * str, int character );

strchr的实现方式如下

while(*str)
{
	if（*str ==character）
	return str；
	++str；
}

在这里插入图片描述
为了保守，我们会取最坏的情况来估计，所以时间复杂度是O（N）
例子5:

void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i-1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i-1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

这里的结果是O（N^2)

这段代码按最坏的情况去算的话就是最外层for循环循环n次，而内层的for循环是按等差数列变化的，所以最后的结果用大O表示就是O(N^2)
在这里插入图片描述

注意很多人可能会只看循环是否嵌套就直接去判断时间复杂度,这样是不对的

例子6:

int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
	assert(a);
	int begin = 0;
	int end = n-1;
	while (begin <= end)
	{
		int mid = begin + ((end-begin)>>1);
		if (a[mid] < x)
			begin = mid+1;
		else if (a[mid] > x)
			end = mid-1;
		else
			return mid;
	}
	return -1;
}

这段代码是通过二分查找,去查找数组中是否有x的值,为了计算时间复杂度我们需要用最坏的情况去计算,既当begin=end的时候可能会找到也可能找不到
过程如下图
在这里插入图片描述
为了方便计算我们假设a[mid]一直大于x,这样让end一直变小,因为end每次变化都是将所查找的范围都减去一半,也就是N/2，所以不难看出这是一个等比数列，当begin=end的时候就意味着已经查找结束了
所以这里的公式推导如图
在这里插入图片描述
这里的x=log的式子可以简化为x=logN，因为log以2为底的对数经常出现，所以我们常常将以2为底的对数省略，如果log以3或4等非2的数字为底，那么就不省略

例子7:

long long Fac(size_t N)
{
	if (0 == N)
		return 1;
	return Fac(N - 1) * N;
}

这道题的过程如下
在这里插入图片描述
很显然这里的时间复杂度是O（N）
Fac（N-0）是第一次
Fac（N-1）是第二次
Fac（N-2）是第三次
Fac（N-(N-2)）=Fac（2）则是N-1次
Fac（N-（N-1））=Fac（1）就是第N次
Fac（N-N）=F（0）就是第N+1次
由于N的影响是远大于1的，所以就将1省略掉，最终结果是O（N）

题目变形：

long long Fac(size_t N)
{
	if (0 == N)
		return 1;
	for（i = 0；i < N; i++）
	{
		.....
	}
	return Fac(N - 1) * N;
}

这道题是在原有的递归函数中加入了一个循环，也就是每次递归执行都会乘一个N，所以最终就是递归N次，每次都时间复杂度为O（N），将每次都时间复杂度相加，也就是用等差数列的求和方式，最终算出的结果就是O（N^2）
例子8:

long long Fib(size_t N)
{
	if (N < 3)
		return 1;
	return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}

过程如图:
在这里插入图片描述
这里我们可以看到Fib（N）一分为二变成Fib（N-1）和Fib（N-2）
然后Fib（N-1）一分为二变成Fib（N-2）和Fib（N-3）…
最终到Fib（3）时会一分为二变成Fib（1）和Fib（2），也就是1和1
之后就不继续分了
当然并不是所有的数都会一分为二，比如Fib（2）和Fib（1），但是这对整体的影响并不大
所有我们可以认为这个过程类似等比数列，通过等比数列的求和方式
在这里插入图片描述
计算过程如下
在这里插入图片描述
所以时间复杂度为O（2^N)

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