假定方程
(
3
)
(3)
(3) 中的函数
g
(
y
)
\mathrm{g}(y)
g(y) 和
f
(
x
)
f(x)
f(x) 是连续的。设
y
=
φ
(
x
)
y = \varphi(x)
y=φ(x) 是方程
(
3
)
(3)
(3) 的解，将它代入
(
3
)
(3)
(3) 中得到恒等式
g
[
φ
(
x
)
]
φ
′
(
x
)
d
x
=
f
(
x
)
d
x
\mathrm{g}[\varphi(x)] \varphi'(x) \mathrm{d}x = f(x) \mathrm{d}x
g[φ(x)]φ′(x)dx=f(x)dx
将上式两端积分，并由
y
=
φ
(
x
)
y = \varphi(x)
y=φ(x) 引进变量
y
y
y ，得
∫
g
(
y
)
d
y
=
∫
f
(
x
)
d
x
\int \mathrm{g}(y) \mathrm{d}y = \int f(x) \mathrm{d}x
∫g(y)dy=∫f(x)dx
设
G
(
y
)
G(y)
G(y) 及
F
(
x
)
F(x)
F(x) 依次为
g
(
y
)
\mathrm{g}(y)
g(y) 及
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的原函数，于是有
G
(
y
)
=
F
(
x
)
+
C
(4)
G(y) = F(x) + C \tag{4}
G(y)=F(x)+C(4)
因此方程
(
3
)
(3)
(3) 的解满足关系式
(
4
)
(4)
(4) 。反之，如果
y
=
Φ
(
x
)
y = \Phi(x)
y=Φ(x) 是由关系式
(
4
)
(4)
(4) 所确定的隐函数，那么在
g
(
y
)
≠
0
\mathrm{g}(y) \neq 0
g(y)=0 的条件下，
y
=
Φ
(
x
)
y = \Phi(x)
y=Φ(x) 也是方程
(
3
)
(3)
(3) 的解，事实上，由隐函数的求导法可知，当
g
(
y
)
≠
0
\mathrm{g}(y) \neq 0
g(y)=0 时，
Φ
′
(
x
)
=
F
′
(
x
)
G
′
(
y
)
=
f
(
x
)
g
(
y
)
,
\Phi'(x) = \cfrac{F'(x)}{G'(y)} = \cfrac{f(x)}{\mathrm{g}(y)} ,
Φ′(x)=G′(y)F′(x)=g(y)f(x),
这就表示函数
y
=
Φ
(
x
)
y = \Phi(x)
y=Φ(x) 满足方程
(
3
)
(3)
(3) 。所以，如果已分离变量的方程
(
3
)
(3)
(3) 中，
g
(
y
)
\mathrm{g}(y)
g(y) 和
f
(
x
)
f(x)
f(x) 是连续的，且
g
(
y
)
≠
0
\mathrm{g}(y) \neq 0
g(y)=0 ，那么
(
3
)
(3)
(3) 式两端积分后得到的关系式
(
4
)
(4)
(4) ，就用隐式给出了方程
(
3
)
(3)
(3) 的解，
(
4
)
(4)
(4) 式就叫做微分方程
(
3
)
(3)
(3) 的隐式解。又由于关系式
(
4
)
(4)
(4) 中含有任意常数，因此
(
4
)
(4)
(4) 式所确定的隐函数是方程
(
3
)
(3)
(3) 的通解。所以
(
4
)
(4)
(4) 式叫做微分方程
(
3
)
(3)
(3) 的隐式通解（当
f
(
x
)
≠
0
f(x) \neq 0
f(x)=0 时，
(
4
)
(4)
(4) 式所确定的隐函数
x
=
Ψ
(
y
)
x = \Psi(y)
x=Ψ(y) 也可认为是方程
(
3
)
(3)
(3) 的解）。