【JAVA-数据结构】二叉树

时间：2024-10-17 15:17:33

        这篇是二叉树相关内容。

1. 树型结构

1.1 概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。朝把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶下的。它具有以下的特点：

  • 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
  • 除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <=m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
  • 树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

1.2 概念

结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 

树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；

叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；

双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 

孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；

根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；

结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推

树的高度或深度：树中结点的最大层次； 

非终端结点或分支结点：度不为0的结点；

兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；

堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；

结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；

子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。

森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

1.3 树的表示形式

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

class Node {
    int value; // 树中存储的数据
    Node firstChild; // 第一个孩子引用
    Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

1.4 树的应用

文件系统管理（目录和文件）

2. 二叉树

2.1 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

1. 或者为空

2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

注意：

  1. 二叉树不存在度大于2的结点
  2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

2.2 两种特殊的二叉树

1. 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。、

2.3 二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 (i>0)个结点

2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 (k>=0)

3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1

4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为 上取整

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

  • 若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
  • 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
  • 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

2.4 二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

// 孩子表示法
class Node {
    int val; // 数据域
    Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
} 
// 孩子双亲表示法
class Node {
    int val; // 数据域
    Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
    Node parent; // 当前节点的根节点
}

孩子双亲表示法后序在平衡树位置介绍，本文采用孩子表示法来构建二叉树。

2.5 二叉树的基本操作

2.5.1 前置说明

在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。由于现在大家对二叉树结构掌握还不够深入，为了降低大家学习成本，此处手动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树操作学习，等二叉树结构了解的差不多时，我们反过头再来研究二叉树真正的创建方式。

public class BinaryTree{
    public static class BTNode{
        BTNode left;
        BTNode right;
        int value;
        BTNode(int value){
            this.value = value;
        }
    }
    private BTNode root;
    public void createBinaryTree(){
        BTNode node1 = new BTNode(1);
        BTNode node1 = new BTNode(2);
        BTNode node1 = new BTNode(3);
        BTNode node1 = new BTNode(4);
        BTNode node1 = new BTNode(5);
        BTNode node1 = new BTNode(6);
        root = node1;
        node1.left = node2;
        node2.left = node3;
        node1.right = node4;
        node4.left = node5;
        node5.right = node6;
    }
}

注意：上述代码并不是创建二叉树的方式，真正创建二叉树方式后序详解重点讲解。

再看二叉树基本操作前，再回顾下二叉树的概念，二叉树是：

  1. 空树
  2. 非空：根节点，根节点的左子树、根节点的右子树组成的。

从概念中可以看出，二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。

2.5.2 二叉树的遍历

1. 前中后序遍历

学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)。 遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。

在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：

  • NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点--->根的左子树--->根的右子树。
  • LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树--->根节点--->根的右子树。
  • LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树--->根的右子树--->根节点。
//遍历思路
    List<Character> list = new ArrayList<>();
    public List<Character> preorderTraversal(TreeNode root) {
        if(root == null) return list;
        //System.out.print(root.val+" ");
        list.add(root.val);
        preorderTraversal(root.left);
        preorderTraversal(root.right);
        return list;
// 前序遍历
public void preOrder(TreeNode root) {
        if(root == null) return;
        System.out.print(root.val+" ");
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }

    public void preOrderNor(TreeNode root) {
        if(root == null) return;
        Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
        TreeNode cur = root;

        while (cur != null || !stack.isEmpty()) {
            while (cur != null) {
                stack.push(cur);
                System.out.print(cur.val + " ");
                cur = cur.left;
            }
            TreeNode top = stack.pop();
            cur = top.right;
        }
    }
// 中序遍历
 public void inOrder(TreeNode root) {
        if(root == null) return;
        inOrder(root.left);
        System.out.print(root.val+" ");
        inOrder(root.right);
    }


    public void inOrderNor(TreeNode root) {
        if(root == null) return;
        Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
        TreeNode cur = root;

        while (cur != null || !stack.isEmpty()) {
            while (cur != null) {
                stack.push(cur);
                cur = cur.left;
            }
            TreeNode top = stack.pop();
            System.out.print(top.val + " ");

            cur = top.right;
        }
    }
// 后序遍历
 public void postOrder(TreeNode root) {
        if(root == null) return;
        postOrder(root.left);
        postOrder(root.right);
        System.out.print(root.val+" ");
    }

    public void postOrderNor(TreeNode root) {
        if(root == null) return;
        Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
        TreeNode cur = root;
        TreeNode prev = null;
        while (cur != null || !stack.isEmpty()) {
            while (cur != null) {
                stack.push(cur);
                cur = cur.left;
            }
            TreeNode top = stack.peek();
            if (top.right == null || top.right == prev) {
                System.out.print(top.val + " ");
                stack.pop();
                prev = top;
            } else {
                cur = top.right;
            }
        }
    }

2. 层序遍历

层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

2.5.3 二叉树的基本操作

 public static int nodeSize = 0;
    // 获取树中节点的个数
    public void size(TreeNode root) {
        if(root == null) {
            return ;
        }
        nodeSize++;
        size(root.left);
        size(root.right);
    }

    public int size2(TreeNode root) {
        if(root == null) {
            return 0;
        }
        return size2(root.left) +
                size2(root.right)+1;
    }
// 获取叶子节点的个数
 public static int leafSize;
    public void getLeafNodeCount(TreeNode root) {
        if(root == null) {
            return;
        }

        if(root.left == null && root.right == null) {
            leafSize++;
        }

        getLeafNodeCount(root.left);
        getLeafNodeCount(root.right);
    }

    public int getLeafNodeCount2(TreeNode root) {
       if(root == null) {
           return 0;
       }
        if(root.left == null && root.right == null) {
            return 1;
        }
       return getLeafNodeCount2(root.left) +
               getLeafNodeCount2(root.right);
    }
    
// 获取第K层节点的个数
public int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k) {
        if(root == null) {
            return 0;
        }
        if(k == 1) {
            return 1;
        }
        return getKLevelNodeCount(root.left,k-1) +
                getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
    }
// 获取二叉树的高度
  public int getHeight(TreeNode root) {
        if(root == null) {
            return 0;
        }
        int leftHeight = getHeight(root.left);
        int rightHeight = getHeight(root.right);

        //return Math.max(leftHeight,rightHeight)+1;
        return leftHeight >rightHeight
                ? leftHeight+1 : rightHeight+1;
    }
// 检测值为value的元素是否存在
 public TreeNode findVal(TreeNode root,char val) {
        if(root == null) {
            return null;
        }
        if(root.val == val) {
            return root;
        }
        TreeNode leftT = findVal(root.left,val);
        if(leftT != null) {
            return leftT;
        }
        TreeNode rightT = findVal(root.right,val);
        if(rightT != null) {
            return rightT;
        }
        return null;
    }

// 判断一棵树是不是完全二叉树
 public boolean isCompleteTree(TreeNode root) {
        if(root == null) {
            return true;
        }
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(root);

        while (!queue.isEmpty()) {
            TreeNode cur = queue.poll();
            if(cur != null) {
                queue.offer(cur.left);
                queue.offer(cur.right);
            }else {
                break;
            }
        }

        while (!queue.isEmpty()) {
            TreeNode peek = queue.peek();
            if(peek != null) {
                return false;
            }
            queue.poll();
        }
        return true;
    }

        二叉树到这里就结束了，后面持续更新数据结构相关内容。

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