文章目录
- 一、积分上限的函数及其导数
- 二、牛顿-莱布尼茨公式
一、积分上限的函数及其导数
定理1 如果函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在区间
[
a
,
b
]
[a, b]
[a,b] 上连续，那么积分上限的函数
Φ
(
x
)
=
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
\Phi (x) = \int_a^x f(t) \mathrm{d}t
Φ(x)=∫axf(t)dt
在
[
a
,
b
]
[a, b]
[a,b] 上可导，并且它的导数
Φ
′
(
x
)
=
d
d
x
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
=
f
(
x
)
(
a
⩽
x
⩽
b
)
(1)
\Phi' (x) = \cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_a^x f(t) \mathrm{d}t = f(x) \quad (a \leqslant x \leqslant b) \tag{1}
Φ′(x)=dxd∫axf(t)dt=f(x)(a⩽x⩽b)(1)
这个定理指出了一个重要的结论：连续函数 f ( x ) f(x) f(x) 取变上限 x x x 的定积分然后求导，其结果还原为 f ( x ) f(x) f(x) 本身。
公式
(
1
)
(1)
(1) 可扩展为下面的公式：
d
d
x
∫
ψ
(
x
)
φ
(
x
)
f
(
t
)
d
t
=
f
[
φ
(
x
)
]
φ
′
(
x
)
−
f
[
ψ
(
x
)
]
ψ
′
(
x
)
\cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_{\psi (x)}^{\varphi (x)} f(t) \mathrm{d}t = f \left[ \varphi (x) \right] \varphi' (x) - f \left[ \psi (x) \right] \psi' (x)
dxd∫ψ(x)φ(x)f(t)dt=f[φ(x)]φ′(x)−f[ψ(x)]ψ′(x)
定理2 如果函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在区间
[
a
,
b
]
[a, b]
[a,b] 上连续，那么函数
Φ
(
x
)
=
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
(2)
\Phi (x) = \int_a^x f(t) \mathrm{d}t \tag{2}
Φ(x)=∫axf(t)dt(2)
就是
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
[
a
,
b
]
[a, b]
[a,b] 上的一个原函数。
这个定理的重要意义是：一方面肯定了连续函数的原函数是存在的，另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系。
二、牛顿-莱布尼茨公式
定理3（微积分基本定理） 如果函数
F
(
x
)
F(x)
F(x) 是连续函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在区间
[
a
,
b
]
[a, b]
[a,b] 上的一个原函数，那么
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
(3)
\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = F(b) - F(a) \tag{3}
∫abf(x)dx=F(b)−F(a)(3)
公式
(
3
)
(3)
(3) 叫做牛顿（Newton）-莱布尼茨（Leibniz）公式，也叫做微积分基本公式。
它表明：一个连续函数在区间
[
a
,
b
]
[a, b]
[a,b] 上的定积分等于它的任一个原函数在区间
[
a
,
b
]
[a, b]
[a,b] 上的增量。
积分中值定理 若函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在闭区间
[
a
,
b
]
[a, b]
[a,b] 上连续，则在开区间内至少存在一点
ξ
\xi
ξ，使
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
f
(
ξ
)
(
b
−
a
)
(
a
<
ξ
<
b
)
.
\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = f(\xi) (b - a) \quad (a < \xi < b) .
∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)(a<ξ<b).
例题 设
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
[
0
,
+
∞
)
[0, + \infty)
[0,+∞) 内连续且
f
(
x
)
>
0
f(x) > 0
f(x)>0 。证明函数
F
(
x
)
=
∫
0
x
t
f
(
t
)
d
t
∫
0
x
f
(
t
)
d
t
F(x) = \cfrac{\displaystyle \int_0^x t f(t) \mathrm{d}t}{\displaystyle \int_0^x f(t) \mathrm{d}t}
F(x)=∫0xf(t)dt∫0xtf(t)dt
在
(
0
,
+
∞
)
(0, + \infty)
(0,+∞) 内为单调增加函数。
证明：由公式
(
1
)
(1)
(1) 得，
d
d
x
∫
0
x
t
f
(
t
)
d
t
=
x
f
(
x
)
,
d
d
x
∫
0
x
f
(
t
)
d
t
=
f
(
x
)
.
\cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_0^x t f(t) \mathrm{d}t = x f(x), \quad \cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_0^x f(t) \mathrm{d}t = f(x) .
dxd∫0xtf(t)dt=xf(x),dxd∫0xf(t)dt=f(x).
故
F
′
(
x
)
=
x
f
(
x
)
∫
0
x
f
(
t
)
d
t
−
f
(
x
)
∫
0
x
t
f
(
t
)
d
t
[
∫
0
x
f
(
t
)
d
t
]
2
=
f
(
x
)
∫
0
x
(
x
−
t
)
f
(
t
)
d
t
[
∫
0
x
f
(
t
)
d
t
]
2
F'(x) = \cfrac{\displaystyle x f(x) \int_0^x f(t) \mathrm{d}t - f(x) \int_0^x t f(t) \mathrm{d}t}{\displaystyle \left[ \int_0^x f(t) \mathrm{d}t \right]^2} = \cfrac{\displaystyle f(x) \int_0^x (x - t) f(t) \mathrm{d}t}{\displaystyle \left[ \int_0^x f(t) \mathrm{d}t \right]^2}
F′(x)=[∫0xf(t)dt]2xf(x)∫0xf(t)dt−f(x)∫0x<