Greiner 经典力学（多体系统和哈密顿力学）第三章 学习笔记 （Foucault‘s Pendulum）

第三章 学习笔记 （Foucault’s Pendulum）

傅科摆是个经典的物理实验，这个实验证明了地球的自转。利用上一节获得的任意坐标系下的运动方程，可以很简洁的推导出傅科摆的各种性质。

首先，以傅科摆所在的位置建立一个局部坐标系。那么有：
$$\begin{gathered} m\ddot{{\mathbf{r}}^{\prime }}{|}_M=\mathbf{F}-m\ddot{\mathbf{R}}{|}_L-m\dot{\omega }{|}_M\times {\mathbf{r}}^{\prime }-2m\omega \times \dot{{\mathbf{r}}^{\prime }}{|}_M-m\omega \times (\omega \times {\mathbf{r}}^{\prime }) \\ =\mathbf{F}-m\omega \times (\omega \times \mathbf{R})-2m\omega \times \dot{{\mathbf{r}}^{\prime }}{|}_M-m\omega \times (\omega \times {\mathbf{r}}^{\prime }) \end{gathered}$$
上面推导中利用了地球是匀速旋转的，所以 $\dot{\omega }=0$ 。傅科摆收到两个外力，分别是张力 $\mathbf{T}$ 和万有引力 $\mathbf{G}$。
$$m\ddot{{\mathbf{r}}^{\prime }}{|}_M=\mathbf{T}+\mathbf{G}-m\omega \times (\omega \times \mathbf{R})-2m\omega \times \dot{{\mathbf{r}}^{\prime }}{|}_M-m\omega \times (\omega \times {\mathbf{r}}^{\prime })$$
这里万有引力和地球旋转产生的离心力共同的作用效果就是重力： $\mathbf{G}-m\omega \times (\omega \times \mathbf{R})=m\mathbf{g}$。因此上式可以进一步写为：
$$m\ddot{{\mathbf{r}}^{\prime }}{|}_M=\mathbf{T}+m\mathbf{g}-2m\omega \times \dot{{\mathbf{r}}^{\prime }}{|}_M-m\omega \times (\omega \times {\mathbf{r}}^{\prime })$$
由于地球自转角速度很慢，所以等式右边第四项相比其他项可以忽略。因此上式进一步简化后得到：
$$m\ddot{r}=\mathbf{T}+m\mathbf{g}-2m\omega \times \mathbf{v}$$

上面的式子全都是使用地面坐标系，所以我们省略了下标和上角标。

下面就是把矢量方程化为标量方程。先把张力 $\mathbf{T}$ 分解为三个方向的分量。这个比较简单，参考下图很容易就可以写出分量。

$$T=\frac{-x}{l}{\hat{\mathbf{e}}}_1+\frac{-y}{l}{\hat{\mathbf{e}}}_2+\frac{l-z}{l}{\hat{\mathbf{e}}}_3$$

实际上 $x,y,z$ 并不是独立的，质点只能在一个球面上运动。

下面还需要把 $\omega $ 分解为三个方向的分量，这个可以参考下面的图：

有了 $\omega $ 的分量表示后就可以求 $\omega \times \mathbf{v}$：
$$\begin{gathered} \omega \times \mathbf{v}=\left|\begin{array}{ccc}{e}_1& e_2& e_3\\ -\omega \sin \lambda & 0& \omega \cos \lambda \\ \dot{x}& \dot{y}& \dot{z}\end{array}\right| \\ =-\omega \cos \lambda \dot{y} \end{gathered}$$