径向基函数神经网络RBFNN

概述

• 径向基函数（Radial Basis Function）神经网络是具有唯一最佳逼近（克服局部极小值问题）、训练简洁、学习收敛速度快等良好性能的前馈型神经网络，目前已证明RBFNN能够以任意精度逼近任意连续的非线性网络，被广泛用于函数逼近、语音识别、模式识别、图像处理、自动控制和故障诊断等领域。
  • 全局逼近网络：网络的一个或多个权值对任一输出都有影响。由于每次输入都要对所有权值进行修正，因此这种网络的学习速度很慢，无法满足实时性要求，如DNN（MLP）。
  • 局部逼近网络：对于输入空间的某局部区域只有少数几个连接权影响输出，有可能满足实时性要求，如RBFNN。
• RBFNN的优缺点
  • 优点：非线性拟合能力强，全局最优逼近；局部接受特性使得决策时含有距离的概念，学习规则简单、拓扑结构紧凑、结构参数可实现分离学习，收敛速度快，便于计算机实现；稳定性、泛化能力、记忆能力强，具有强大的自学习能力等。
  • 缺点：解释性差，数据不充分时无法工作，难以确定隐藏层节点数、节点中心和宽度，优选过程出现数据病态现象等。

一、RBFNN结构

RBFNN包含3层结构，即只有一个隐藏层：

1. 输入层是由N个感知单元组成，表示信源节点输入；
   输入层仅起到输入数据的作用，输入层和隐藏层之间的连接权值为1。
2. 隐藏层含有M个径向基神经元（**函数为RBF），将低维非线性可分的输入映射到高维线性可分的空间；
   隐藏层节点的**函数对输入局部响应，当输入靠近基函数*范围时，隐藏层节点将产生较大的输出；远离中心点时，输出将呈指数衰减。
3. 输出层含有P个线性神经元（**函数为线性函数），最终的输出是隐藏层神经元输出的线性加权和。
   

二、RBFNN的RBF(径向基函数、核函数)

1. 径向基函数RBF是中心点径向对称、取值仅依赖于距中心点距离的非负实值函数，常用的RBF使用欧氏距离及高斯函数，令μi为隐藏层第i个节点的高斯函数中心点，σi为第i个节点的宽度参数/方差：

   

2. RBF的基本思想是将低维线性不可分的数据映射到高维空间，使其在高维空间线性可分。
   就像SVM中只需要找到代表数据的支持向量一样，RBF也只需要找到能够代表数据的中心点即可。与传统DNN的BP算法不同之处是，RBF网络不用对全局连接权值进行训练，只对一些重要的影响输出的权重进行调整，提高了训练速度，因此该函数也称局部响应函数。

3. RBFNN需要选择M个隐藏层基函数，输入向量与中心点之间的距离||x-μ||越小则网络的输出就越大。中心点矩阵的大小为隐层神经元数M*输入层神经元数N，每个μi对应的σi使得不同的输入信息能被不同的隐层神经元最大程度的反映出来。

4. 最终的输出为：
   

三、RBFNN分类

1. 正则化RBFNN（RN）

   正则化RBFNN的隐藏层节点个数等于输入样本数M=N，隐节点**函数为高斯形式的Green函数，并将所有输入样本设为径向基函数的中心点，各个径向基函数采取统一的方差：
   

其中 是中心点之间的最大距离，M是中心点个数。

• 由于易受噪声影响，且可能是超定问题，需要加入一个含有解的先验知识的约束来控制映射函数的光滑性：

  

其中λ为正则化参数，D为线性微分算子，代表对F(x)的先验知识。

• 确定隐藏层神经元的中心位置后，只需要解线性方程组得到W的解析解即可确定该RBFNN模型：
  

• 这种方法适用于一些样本量小的问题，特点是计算量小、过程简单，易受噪声影响、可能是超定问题，需要加入正则项。

2. 广义RBFNN（GN）

使用径向基函数作为隐节点的基函数，对输入向量进行变换，从输入层到隐藏层相当于把低维空间的数据映射的到高维空间。输入层节点个数为样本的维度，隐藏层节点个数多于输入层节点个数，但一定比样本总个数少得多，因此减小了计算量且避免了病态数据的问题。

样本维数N < 隐层节点个数M < 样本总个数

3. 两种模型的比较
   

四、RBFNN训练

概述

• RBFNN的设计包括结构设计和参数设计，即隐藏层需要几个节点（RN中M=N），确定基函数参数、，使用BP算法求解隐藏层与输出层之间的权值。RBFNN常用的中心选择方法有：随机中心选取法、自组织学习选取中心法和正交最小二乘法等。

1. 随机中心选取法
   一般在样本密集的地方可以适当多选择一些样本作为中心点，在稀疏的地方适当少些；若数据本身是均匀分布的，则中心点也可以均匀分布，总之选出的数据中心点应具有代表性。为了避免每个径向基函数太尖锐或者太平坦，可以将方差设为
   
2. 自组织学习中心选取法

• 这种方法由无监督和监督学习两个阶段混合组成，无监督学习阶段用K-means聚类算法确定RBF的中心，并根据各中心点之间的距离来确定隐节点的方差；监督学习阶段一般采用梯度下降法得到输出层的权值。除了以上2种算法外，还有RAN、RANEKF、MRAN、GIRAN等算法。
• 选择M个不同的向量作为初始聚簇中心，计算输入各样本与聚簇中心的欧式距离，设定阈值根据距离对样本进行归类，从而将全部样本划分为M个子集，每个子集构成一个以聚簇中心为代表的簇
• 对各簇中样本取均值，或者采用竞争学习规则调整聚簇中心，直到聚簇中心的调整小于阈值为止
• 确定了中心点后，可根据中心点之间的距离计算方差，λ为重叠系数：
  

3. 梯度下降法
   使用监督学习算法训练得到RBF中心、方差及输出权值，同BP算法一样经历误差修正的学习过程，忽略阈值定义目标函数为：
   
   为了使目标函数最小化，各个参数的修正量应与其负梯度成正比。
   

4. 正交最小二乘法OLS
   Orthogonal Least Square的思想来源于加权线性回归模型，输出Y是隐节点某种响应参数（回归算子：隐节点的输出）和隐藏层与输出层之间连接权重的线性组合： 。所有隐节点的回归算子构成回归向量P，学习的过程主要是回归向量正交化的过程。
   OLS方法要求把P变换为一个关于正交基向量表示的矩阵，使得P可以表示出各个基向量对输出的贡献大小，对P做QR分解：
   
   其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵，主对角线元素为1，对角线下方元素为0。
   令 为新的回归参数向量，求得G后就可得到W的解析解 。
   原文链接：https://blog.****.net/liuy9803/article/details/81510296