详解 图像旋转变换 原理

1、简介

旋转变换是计算机图像学中应用非常广泛的一种变换，为了后面解释的需要，我们也添加了平移变换、缩放变化等内容。文章重点介绍关于旋转的变换，包括二维旋转变换、三维旋转变换以及它的一些表达方式（旋转矩阵、四元数、欧拉角等）。

2、平移变换

将三维空间中的一个点 $[x, y, z, 1]$[x,y,z,1] 移动到另外一个点 $[x', y', z', 1]$[x′,y′,z′,1]，三个坐标轴的移动分量分别为$dx=Tx, dy=Ty, dz=Tz,$dx=Tx,dy=Ty,dz=Tz, 即

$\begin{cases} x' = x + Tx \\ y' = y + Ty \\ z' = z + Tz \end{cases}$⎩⎪⎨⎪⎧​x′=x+Txy′=y+Tyz′=z+Tz​

平移变换的矩阵如下。

$\begin{bmatrix} x'\\ y' \\ z' \\1 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & Tx \\ 0 & 1 &0 & Ty \\ 0 & 0 & 1 & Tz \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end {bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end {bmatrix}$⎣⎢⎢⎡​x′y′z′1​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​1000​0100​0010​TxTyTz1​⎦⎥⎥⎤​⋅⎣⎢⎢⎡​xyz1​⎦⎥⎥⎤​

3、缩放变换

将模型放大或者缩小，本质也是对模型上每个顶点进行放大和缩小（顶点坐标值变大或变小），假设变换前的点是 $[x, y, z, 1]$[x,y,z,1]，变换后的点是 $[x', y', z', 1]$[x′,y′,z′,1]，那么

$\begin{cases} x' = x * S_x \\ y' = y * S_y \\ z' = z * S_z \end{cases}$⎩⎪⎨⎪⎧​x′=x∗Sx​y′=y∗Sy​z′=z∗Sz​​

缩放变换的矩阵如下。

$\begin{bmatrix} x'\\ y' \\ z' \\1 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} S_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & S_y &0 & 0 \\ 0 & 0 & S_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end {bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end {bmatrix}$⎣⎢⎢⎡​x′y′z′1​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​Sx​000​0Sy​00​00Sz​0​0001​⎦⎥⎥⎤​⋅⎣⎢⎢⎡​xyz1​⎦⎥⎥⎤​

3、逆矩阵

平移变换矩阵的逆矩阵与原来的平移量相同，但是方向相反。

$T^{-1} \cdot T = \begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & -T_x \\ 0 & 1 & 0 & -T_y \\ 0 & 0& 1 & -T_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end {bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & T_x \\ 0 & 1 & 0 & T_y \\ 0 & 0& 1 & T_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end {bmatrix} = I \quad$T−1⋅T=⎣⎢⎢⎡​1000​0100​0010​−Tx​−Ty​−Tz​1​⎦⎥⎥⎤​⋅⎣⎢⎢⎡​1000​0100​0010​Tx​Ty​Tz​1​⎦⎥⎥⎤​=I

旋转变换矩阵的逆矩阵与原来的旋转轴相同但是角度相反。

$R^{-1} \cdot R = \begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cos\theta & sin\theta & 0 \\ 0 & -sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end {bmatrix} \cdot \begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cos\theta & -sin\theta & 0 \\ 0 & sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end {bmatrix}= I$R−1⋅R=⎣⎢⎢⎡​1000​0cosθ−sinθ0​0sinθcosθ0​0001​⎦⎥⎥⎤​⋅⎣⎢⎢⎡​1000​0cosθsinθ0​0−sinθcosθ0​0001​⎦⎥⎥⎤​=I

$R^{-1} \cdot R = \begin {bmatrix} cos\theta & 0 & -sin\theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ sin\theta & 0 & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end {bmatrix} \cdot \begin {bmatrix} cos\theta & 0 & sin\theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -sin\theta & 0 & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end {bmatrix} = I$R−1⋅R=⎣⎢⎢⎡​cosθ0sinθ0​0100​−sinθ0cosθ0​0001​⎦⎥⎥⎤​⋅⎣⎢⎢⎡​cosθ0−sinθ0​0100​sinθ0cosθ0​0001​⎦⎥⎥⎤​=I

$R^{-1} \cdot R = \begin {bmatrix} cos\theta & sin\theta & 0 & 0 \\ -sin\theta & cos\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end {bmatrix} \cdot \begin {bmatrix} cos\theta & -sin\theta & 0 & 0 \\ sin\theta & cos\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end {bmatrix} = I$R−1⋅R=⎣⎢⎢⎡​cosθ−sinθ00​sinθcosθ00​0010​0001​⎦⎥⎥⎤​⋅⎣⎢⎢⎡​cosθsinθ00​−sinθcosθ00​0010​0001​⎦⎥⎥⎤​=I

4、旋转变换

4.1 绕原点二维旋转

首先要明确旋转在二维中是绕着某一个点进行旋转，三维中是绕着某一个轴进行旋转。二维旋转中最简单的场景是绕着坐标原点进行的旋转，如下图所示：

如图所示点 $(x, y)$(x,y) 绕原点 逆时针旋转 $\theta$θ 角 ，得到点 $(x', y')$(x′,y′)

注：此处的 $\theta$θ 为负值，因此旋转过后的 $(x',y')$(x′,y′) 坐标采用 $(\alpha + \theta)$(α+θ) 而不是 $(\alpha - \theta)$(α−θ)

矩阵解释：

$\begin{bmatrix} x'\\ y' \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ cos\theta & sin\theta \end {bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x\\ y \end {bmatrix}$[x′y′​]=[cosθcosθ​−sinθsinθ​]⋅[xy​]

利用矩阵乘法展开为

$\begin{cases}x' = x\cdot cos\theta - y\cdot sin\theta \\ y' =x\cdot cos\theta+y\cdot sin\theta\end{cases}${x′=x⋅cosθ−y⋅sinθy′=x⋅cosθ+y⋅sinθ​

极坐标解释：

此处不用直角坐标系解释，极坐标解释更便于理解
$(x,y)$(x,y) 坐标：$\begin{cases}x = r\cdot cos\alpha \\ y =r \cdot sin\alpha \end{cases}${x=r⋅cosαy=r⋅sinα​

$(x',y')$(x′,y′) 坐标：$\begin{cases}x' = r\cdot cos(\alpha + \theta) \\ \space\space\space\space\space = r\cdot cos\alpha\cdot cos \theta - r \cdot sin \alpha\cdot sin \theta \\ \space\space\space\space\space = x\cdot cos \theta -y\cdot sin \theta \\ \\ y' =r \cdot sin(\alpha + \theta) \\ \space\space\space\space\space = r\cdot sin\alpha\cdot cos \theta + r \cdot cos \alpha\cdot sin \theta \\ \space\space\space\space\space = x\cdot cos \theta +y\cdot sin \theta \end{cases}$⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​x′=r⋅cos(α+θ)     =r⋅cosα⋅cosθ−r⋅sinα⋅sinθ     =x⋅cosθ−y⋅sinθy′=r⋅sin(α+θ)     =r⋅sinα⋅cosθ+r⋅cosα⋅sinθ     =x⋅cosθ+y⋅sinθ​

4.2 绕任意点的二维旋转

绕原点的旋转是二维旋转最基本的情况，当我们需要进行绕任意点旋转时，我们可以把这种情况转换到绕原点的旋转，思路如下：

1. 首先将旋转点移动到原点处
2. 执行如2所描述的绕原点的旋转
3. 再将旋转点移回到原来的位置

也就是说在处理绕任意点旋转的情况下需要执行两次平移的操作。假设平移的矩阵是 $T(x,y)$T(x,y)，也就是说我们需要得到的坐标 $v'=T(x,y)*R*T(-x,-y)$v′=T(x,y)∗R∗T(−x,−y)（我们使用的是列坐标描述点的坐标，因此是左乘，首先执行 $T(-x,-y)$T(−x,−y)

在计算机图形学中，为了统一将平移、旋转、缩放等用矩阵表示，需要引入齐次坐标。（假设使用2x2的矩阵，是没有办法描述平移操作的，只有引入3x3矩阵形式，才能统一描述二维中的平移、旋转、缩放操作。同理必须使用4x4的矩阵才能统一描述三维的变换）。

对于二维平移，如下图所示，$P$P 点经过x和y方向的平移到 $P'$P′ 点，可以得到：

$\begin{cases} x′=x+t_x \\ y′=y+t_y \end{cases}${x′=x+tx​y′=y+ty​​

由于引入了齐次坐标，在描述二维坐标的时候，使用 $(x，y，w)$(x，y，w) 的方式（一般 $w=1$w=1 ），于是可以写成下面矩阵的形式

$\begin{bmatrix} x'\\ y' \\1 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} 1 & 0 &tx \\ 0 & 1 & ty \\ 0 & 0 & 1 \end {bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end {bmatrix}$⎣⎡​x′y′1​⎦⎤​=⎣⎡​100​010​txty1​⎦⎤​⋅⎣⎡​xy1​⎦⎤​

按矩阵乘法展开，正好得到上面的表达式。其中平移矩阵是

$\quad \begin {bmatrix} 1 & 0 &tx \\ 0 & 1 & ty \\ 0 & 0 & 1 \end {bmatrix}$⎣⎡​100​010​txty1​⎦⎤​

此时将绕原点二维旋转中描述的旋转矩阵也扩展到 3x3 的方式，变为：

$\begin{bmatrix} x'\\ y' \\1 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} cos\theta & -sin\theta & 0 \\ sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end {bmatrix}$⎣⎡​x′y′1​⎦⎤​=⎣⎡​cosθsinθ0​−sinθcosθ0​001​⎦⎤​⋅⎣⎡​xy1​⎦⎤​

从平移和旋转的矩阵可以看出，3x3 矩阵的前 2x2 部分是和旋转相关的，第三列与平移相关。有了上面的基础之后，我们很容易得出二维中绕任意点旋转的旋转矩阵了，只需要把三个矩阵乘起来即可：

$M = \begin {bmatrix} 1 & -0 & tx \\ 0 & 1 & ty \\ 0 & 0 & 1 \end {bmatrix} \cdot \begin {bmatrix} cos\theta & -sin\theta & 0 \\ sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {bmatrix} \cdot \begin {bmatrix} 1 & 0 & -tx \\ 0 & 1 & -ty \\ 0 & 0 & 1 \end {bmatrix}$M=⎣⎡​100​−010​txty1​⎦⎤​⋅⎣⎡​cosθsinθ0​−sinθcosθ0​001​⎦⎤​⋅⎣⎡​100​010​−tx−ty1​⎦⎤​

4.3 三维基本旋转

我们可以把一个旋转转换为绕基本坐标轴的旋转，因此有必要讨论一下绕三个坐标值 $x,y,z$x,y,z 的旋转。

本文在讨论过程中使用的是类似于OpenGL中定义的右手坐标系，同时旋转角度的正负也遵循右手坐标系的约定。如下图所示

4.3.1 绕X轴的旋转

在三维场景中，当一个点 $P(x,y,z)$P(x,y,z) 绕 $X$X 轴旋转 $\theta$θ 角得到点 $P'(x',y',z')$P′(x′,y′,z′)。由于是绕 $X$X 轴进行的旋转，因此 $X$X 坐标保持不变，$Y$Y 和 $Z$Z 组成的 $YOZ$YOZ（ $O$O是坐标原点）平面上进行的是一个二维的旋转，可以参考上图（$Y$Y轴类似于二维旋转中的 $X$X 轴，$Z$Z 轴类似于二维旋转中的 $Y$Y轴），于是有：

$\begin{cases} x′=x \\ y′=ycos\theta−zsin\theta \\ z′=ysin\theta+zcos\theta \end{cases}$⎩⎪⎨⎪⎧​x′=xy′=ycosθ−zsinθz′=ysinθ+zcosθ​

写成（4x4）矩阵的形式

$\begin{bmatrix} x'\\ y' \\ z' \\1 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cos\theta & -sin\theta & 0 \\ 0 & sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end {bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end {bmatrix}$⎣⎢⎢⎡​x′y′z′1​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​1000​0cosθsinθ0​0−sinθcosθ0​0001​⎦⎥⎥⎤​⋅⎣⎢⎢⎡​xyz1​⎦⎥⎥⎤​

4.3.2 绕Y轴旋转

绕 $Y$Y 轴的旋转和绕 $X$X 轴的旋转类似，$Y$Y 坐标保持不变，除Y轴之外，$ZOX$ZOX组成的平面进行一次二维的旋转（$Z$Z轴类似于二维旋转的$X$X轴，$X$X 轴类似于二维旋转中的 $Y$Y 轴，注意这里是 $ZOX$ZOX ，而不是 $XOZ$XOZ，观察上图中右手系的图片可以很容易了解到这一点），同样有：

$\begin{cases} x′=zsin\theta+xcos\theta \\ y′=y \\ z′=zcos\theta-xsin\theta \end{cases}$⎩⎪⎨⎪⎧​x′=zsinθ+xcosθy′=yz′=zcosθ−xsinθ​

写成（4x4）矩阵的形式

$\begin{bmatrix} x'\\ y' \\ z' \\1 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} cos\theta & 0 & sin\theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -sin\theta & 0 & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end {bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end {bmatrix}$⎣⎢⎢⎡​x′y′z′1​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​cosθ0−sinθ0​0100​sinθ0cosθ0​0001​⎦⎥⎥⎤​⋅⎣⎢⎢⎡​xyz1​⎦⎥⎥⎤​

4.3.3 绕Z轴旋转

与上面类似，绕 $Z$Z 轴旋转，$Z$Z 坐标保持不变，$XOY$XOY组成的平面内正好进行一次二维旋转（和上面讨论二维旋转的情况完全一样）

$\begin{bmatrix} x'\\ y' \\ z' \\1 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} cos\theta & -sin\theta & 0 & 0 \\ sin\theta & cos\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end {bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end {bmatrix}$⎣⎢⎢⎡​x′y′z′1​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​cosθsinθ00​−sinθcosθ00​0010​0001​⎦⎥⎥⎤​⋅⎣⎢⎢⎡​xyz1​⎦⎥⎥⎤​

4.4 小结

上面描述了三维变换中绕单一轴旋转的矩阵表达形式，绕三个轴旋转的矩阵很类似，其中绕y轴旋转的矩阵与绕 $X$X 和 $Z$Z 轴旋转的矩阵略有点不同（主要是三个轴向顺序和书写矩阵的方式不一致导致的，绕三个不同坐标旋转轴以及其他二个坐标轴组成平面的顺序是： $XYZ$XYZ (绕 $X$X 轴） $YZX$YZX（绕$Y$Y 轴） $ZXY$ZXY（绕 $Z$Z 轴），其中绕 $Y$Y 轴旋转，其他两个轴是 $ZX$ZX，这和我们书写矩阵按

$\begin{bmatrix} x\\ y\\z\\1 \end {bmatrix}$⎣⎢⎢⎡​xyz1​⎦⎥⎥⎤​

的方式不一致，而导致看起来绕 $Y$Y 轴旋转的矩阵似乎是和其他两个矩阵不一致。如果我们颠倒写法，将公式写成

$\begin{bmatrix} z' \\ y' \\ x' \\1 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} cos\theta & 0 & -sin\theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ sin\theta & 0& cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end {bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} z \\ y \\ x \\ 1 \end {bmatrix}$⎣⎢⎢⎡​z′y′x′1​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​cosθ0sinθ0​0100​−sinθ0cosθ0​0001​⎦⎥⎥⎤​⋅⎣⎢⎢⎡​zyx1​⎦⎥⎥⎤​

的方式，那么这三个旋转矩阵看起来在形式上就统一了，都是

$\quad \begin {bmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ cos\theta & sin\theta \end {bmatrix}$[cosθcosθ​−sinθsinθ​]

这种表现形式了（右上角都是 $−sin\theta$−sinθ ）

5、绕任意轴的三维旋转

绕任意轴旋转的情况比较复杂，主要分为两种情况，一种是平行于坐标轴的，一种是不平行于坐标轴的。

5.1 平行坐标轴

对于平行于坐标轴的，我们首先将旋转轴平移至与坐标轴重合，然后进行旋转，最后再平移回去。

1. 将旋转轴平移至与坐标轴重合，对应平移操作 $T$T
2. 旋转，对应操作 $R$R
3. 步骤1的逆过程，对应操作 $T^{-1}$T−1

整个过程就是
$P' = T^{-1} \cdot R \cdot T \cdot P$P′=T−1⋅R⋅T⋅P

5.2 不平行坐标轴

对于不平行于坐标轴的，可按如下方法处理。（该方法实际上涵盖了上面的情况）

绕任意轴的三维旋转可以使用类似于绕任意点的二维旋转一样，将旋转分解为一些列基本的旋转。绕任意轴旋转如下图所示：

1. 将旋转轴平移至原点
2. 将旋转轴旋转至 $YOZ$YOZ 平面
3. 将旋转轴旋转至于 $Z$Z 轴重合
4. 绕 $Z$Z 轴旋转 $\theta$θ 度
5. 执行步骤3的逆过程
6. 执行步骤2的逆过程
7. 执行步骤1的逆过程

图形详解过程：

步骤1：

将原旋转轴 $u$u 平移 $v$v 至过原点 $O$O ，对应矩阵操作

$P_1 = \begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & Tx \\ 0 & 1 &0 & Ty \\ 0 & 0 & 1 & Tz \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end {bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end {bmatrix} =T_1 \cdot P$P1​=⎣⎢⎢⎡​1000​0100​0010​TxTyTz1​⎦⎥⎥⎤​⋅⎣⎢⎢⎡​xyz1​⎦⎥⎥⎤​=T1​⋅P

步骤2：

旋转操作，将 $u$u 绕 $z$z 轴旋转 $\alpha$α 角 至 $XOZ$XOZ 平面，对应的图如下

$P_2 = \begin {bmatrix} cos\alpha & -sin\alpha & 0 & 0 \\ sin\alpha & cos\alpha & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end {bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \\ 1 \end {bmatrix} =R_z \cdot P_1$P2​=⎣⎢⎢⎡​cosαsinα00​−sinαcosα00​0010​0001​⎦⎥⎥⎤​⋅⎣⎢⎢⎡​x1​y1​z1​1​⎦⎥⎥⎤​=Rz​⋅P1​

步骤3：

步骤3也是一个旋转操作，将 $u$u 绕 $y$y 旋转 $\beta$β 至与 $x$x 轴重合，对应的图如下

$P_3 = \begin {bmatrix} cos\beta & 0 & sin\beta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -sin\beta & 0 & cos\beta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end {bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \\ 1 \end {bmatrix} =R_y \cdot P_2$P3​=⎣⎢⎢⎡​cosβ0−sinβ0​0100​sinβ0cosβ0​0001​⎦⎥⎥⎤​⋅⎣⎢⎢⎡​x2​y2​z2​1​⎦⎥⎥⎤​=Ry​⋅P2​

步骤4：

此时原旋转轴经过一系列的操作，已经与 $x$x 轴重合了 ，即 $u''$u′′ ，此时原来的 $P , Q$P,Q 点已经映射到 $P' ,Q'$P′,Q′ ，只需将 $P'$P′ 绕 $x$x 轴旋转 $\theta$θ 角便可得到 $Q'$Q′ 点，此时的操作为：

$P_4 = \begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cos\theta & -sin\theta & 0 \\ 0 & sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end {bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_3 \\ y_3 \\ z_3 \\ 1 \end {bmatrix} =R_x \cdot P_3$P4​=⎣⎢⎢⎡​1000​0cosθsinθ0​0−sinθcosθ0​0001​⎦⎥⎥⎤​⋅⎣⎢⎢⎡​x3​y3​z3​1​⎦⎥⎥⎤​=Rx​⋅P3​

步骤5：

此时再将 步骤3，2，1逆操作即可得到原始点 $P$P 点绕旋转轴 $u$u 旋转 $\theta$θ 角后的点 $Q$Q；

对应的操作即为 $Q = T^{-1} \cdot R_z^{-1} \cdot R_y^{-1} \cdot P_4$Q=T−1⋅Rz−1​⋅Ry−1​⋅P4​

综述：

对于不平行于坐标轴的旋转其实已经包含了平行于坐标轴的旋转，因此对于绕任意轴的三维旋转可以总结为：

$Q = M \cdot P$Q=M⋅P
其中 $M = T^{-1} \cdot R_z^{-1} \cdot R_y^{-1} \cdot R_x \cdot R_y \cdot R_x \cdot T$M=T−1⋅Rz−1​⋅Ry−1​⋅Rx​⋅Ry​⋅Rx​⋅T

5.3 α,β,θ 角度补充

为了全文的排版，以及读者体验，上述解释全部采用的 $\alpha ,\beta ,\theta$α,β,θ ，具体从何得来并没有做解释说明，在此将对 $\alpha ,\beta ,\theta$α,β,θ 的缘由做个详细解释。

1. 在此，假设旋转轴 $u$u 由 $[(a_1,b_1,c_1),(a_2，b_2,c_2)]$[(a1​,b1​,c1​),(a2​，b2​,c2​)] 表示
   

2. 旋转轴 $u$u 经过平移 $T_1$T1​ 变换后过原点的旋转轴 $u'$u′ ，$u'$u′ 的坐标为 $(a,b,c)$(a,b,c)
   

3. 旋转轴 $u'$u′ 上的点 $(a,b,c)$(a,b,c)
   在 $XOY$XOY 平面上的投影为 $OA(a,b,0)$OA(a,b,0)
   在 $XOZ$XOZ 平面上的投影为 $OB(a,0,c)$OB(a,0,c)
   那么
   $sin\alpha = { b \over \sqrt{a^2 + b^2}} \space\space , \space\space cos\alpha = {a \over \sqrt{a^2 + b^2}}$sinα=a2+b2​b​  ,  cosα=a2+b2​a​
   $sin\beta = { c \over \sqrt{a^2 + c^2}}\space\space , \space\space cos\beta = {a \over \sqrt{a^2 + c^2}}$sinβ=a2+c2​c​  ,  cosβ=a2+c2​a​
   

参考链接：

https://www.cnblogs.com/zhoug2020/p/7842808.html
https://www.cnblogs.com/graphics/archive/2012/08/10/2627458.html