本文档将说明如何推导三维空间旋转变换矩阵
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原理说明
其实推导三维空间的旋转变换矩阵就是对三维空间进行换基而已，如果有学过矩阵分析的人应该能很好地理解我所说的意义，即入口基与出口基之间的变换矩阵。
当然，这里假设学习的人都是使用空间机器人或视觉处理的同学，因此这里由空间方法进行推导。
绕单个轴旋转的变换矩阵推导
现在假设我们有两个坐标系：x,y,z与n,o,a，如图1所示：
假设这两个坐标系原点重合，且坐标系n,o,a上固连有一点p，现在我们绕着世界坐标系x,y,z的x轴旋转一个角度
θ
\theta
θ,那么从x轴正方向上往里看，应该看到如下：
那么从几何关系上，我们通过计算旋转后P点在x,y,z坐标系下的坐标可以得到如下公式：
p
x
=
p
n
p
y
=
p
o
c
o
s
θ
−
p
a
s
i
n
θ
p
z
=
p
o
s
i
n
θ
+
p
a
c
o
s
θ
p_{x} = p_{n} \\ p_{y} = p_{o}cos\theta-p_{a}sin\theta \\ p_{z}=p_{o}sin\theta+p_{a}cos\theta
px=pnpy=pocosθ−pasinθpz=posinθ+pacosθ
写成矩阵形式:
这就是绕着x轴旋转的变换矩阵，有的人把负号位置弄错了是因为弄混了坐标系关系，其实只要记住点是固连在旋转坐标系noa上的，我们知道点在noa下的坐标，而我们要求的是旋转后这个点在xyz坐标系下的坐标，因此上面的等式左边应为
p
x
,
p
y
,
p
z
p_{x},p_{y},p_{z}
px,py,pz，而右边为
p
n
,
p
o
,
p
a
p_{n},p_{o},p_{a}
pn,po,pa。
如果等式左右对调了，得出的矩阵负号位置就错了，你们可以试着推一下。
正确的三维连乘矩阵结果
假设我们按照x,y,z的顺序旋转矩阵（世界坐标系，不是本身，因此左乘），那么：