频率分辨率的一些分析

最近被逼着写去除地震仪器响应的相关程序，不得不重新对本科学的数字信号处理的相关内容进行了学习，对于频率分辨率，做了一些分析．同时牵扯到了香农定律以及奈奎斯特频率（Nyquist frequency),2.56,振幅的保真等相关信息．故记录如下，方便查阅．

香农采样定理是这样描述的:
采样频率 $f_s$ 至少为关心的信号最高频率 $f_h$ ( $f_m$ )的2倍。采样频率 $f_s$ 的一半称为奈奎斯特频率。采样频率的一半也称为分析带宽,或简称为带宽.

我们这样描述时间分辨率，和频率分辨率：

频率分辨率：
1. 在使用 $DFT$ 时，在频率轴上的最小频率间隔． $f_0 = 1/T$ ( $T$ 是时间序列的时间长度)
2. 理解为某一个算法（如功率谱估计方法），将原信号中的两个靠近的谱峰依旧能保持分开的能力．这是比较和检验不同算法性能好坏的指标．
时间分辨率：
在使用 $DFT$ 时，在时间轴上所能得到的最小时间间隔 $T_0$ ．即区分信号靠的很近的两个频率点的能力．

这里我们对于时间分辨率分析进行省略，在以后写频谱分析相关内容时，再做扩展．而重点考虑频率分辨率，因为解释一中的分析更加便于理解，且给出了通过时间序列长度来计算频率分辨率的方法，我们采用这种方式来分析．

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.fftpack import fft, fftfreq, fftshift
# number of signal points
N = 400
# sample spacing
T = 1.0 / 800.0
x = np.linspace(0.0, N*T, N)
y =np.exp(100.0 * 1.j * 2.0*np.pi*x) + 0.5*np.exp(-80.0 * 1.j * 2.0*np.pi*x)+1.2

yf = fft(y)
xf = fftfreq(N, T)
xf = fftshift(xf)
yplot = fftshift(yf)

plt.plot(xf, 1.0/N * np.abs(yplot))
plt.grid()
plt.show()

这个例子来自于scipy.fftpack.fft 网页上的说明．这里采样点数 $N = 400$ ,采样时间间隔 $T_0 = 1.0/800$ ,这样我们可以求出 $f_s = 1.0/Ｔ_0 = 800Hz$ ,时间序列长度 $T = N*T_0 = 0.5s$ ,则频率间隔（频率分辨率）为 $f_0 = 1.0/T = 2Hz$
这里我们设置了一个时间序列ｙ,有频率１００Ｈｚ,-80Hz,以及０Hz.对其进行傅里叶变换fft,用fftshift将频率系数在０Hz处对称，同时利用fftfreq,得到对称的频率值