matlab的PDE工具箱的简单使用

问题选择

在一个二维的有界区域 $\Omega$ 上，matlab的PDE工具箱主要使用有限元方法解决下面四类问题：

椭圆形方程（elliptic）
$-\nabla\cdot(c\nabla u)+au=f$
抛物型方程（parabolic）
$d\frac{\partial u}{\partial t}-\nabla (c\cdot \nabla u)+au = f$
双曲型方程（hyperbolic）
$d\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\nabla (c\cdot \nabla u)+au = f$
特征值问题（eigen）
$-\nabla (c\cdot \nabla u)+au = \lambda du$

这些系数和右端项是可以包含时间 $t$ （如果有的话）、函数 $u$ ，函数的梯度 $\nabla u$ 。

边界条件选择

狄利克雷边界条件（Dirichlet）
$hu=r$
诺依曼边界条件（Neumann）
$\vec{n} \cdot (c\nabla u)+qu =g$
这里 $\vec{n}$ 是外法向量。
方程组求解的情况下，还有混合边界条件。

这上边的参数可以使空间变量、时间变量以及函数 $u$ 的函数。

菜单按钮和简单使用

命令行输入pdetool，打开GUI编辑界面如下：

matlab的PDE工具箱的简单使用

注意到工具栏上，就是我们要用到的，从左到右依次使用每个工具，就完成了整个pde的求解过程。每个工具的含义如下：

matlab的PDE工具箱的简单使用

简单地说，就是前面几个拿来画区域的，后面一个 $\partial \Omega$ 拿来设置边界条件，带三角形的是拿来剖分以及加密的，等号是求解，最后那个带图的那个是画图。

工具栏上的菜单栏，我们常用到的有Option下的坐标轴显示网格，坐标轴限制以及坐标轴显示是否等宽。再有就是Draw下的对区域的旋转选项，以及mesh下的显示网格编号，到处网格节点、边、面等。最重要的是Solve下对于抛物问题和双曲问题的参数设定（和时间有关的步长，终止时间，初值等），解的导出也在solve下。如果知道真解的话，可以使用plot下拉下的参数选项，选择user entry来绘制误差曲线。

当然，还有一些简单的tip，比如，在设置边界条件时，若多个边界的边界条件时一样的，那么可以shift+单击选中多个边界，一次性设置边界条件。在plot当中还可以生成动画等。

一个简单的小例子

$u_t - \Delta u = 0 \ in \ \Omega=[0,1]^2\\ n \cdot \nabla u = 0 \ on \ \partial \Omega\\ u(0,x,y) = R_0 - \sqrt{(x-0.5)^2+(y-0.5)^2}$

对于这样一个问题，我们如何用pde工具箱求解呢？假定 $R_0 = 1/4$ ，求解的时间 $t = 3/256$ ，那么，操作如下：

命令行输入pdetool打开工具箱
使用矩形工具（第一个）拖动绘制矩形。双击画出的矩形，填写Left=0，Bottom=0,Width=1,Height =1，如下：点击OK。
使用Options下Axes Limits可以调整横纵坐标的显示。
点击 $\partial \Omega$ ，边界以红色显示（红蓝绿依次表示狄利克雷、诺依曼和混合边界条件）。使用shift和鼠标点击，选中四条边界，设置为诺依曼边界条件，根据问题，填写 $q=0,g=0$ ，点选OK。
点击PDE按钮，选择抛物方程，设置参数如下：
点击三角形按钮，以及后面的加密按钮，对区域进行三角形剖分。
选择Solve下拉菜单中的参数，根据问题设置参数如下：
点击等号，即进行求解了。
这里一般用颜色的深浅来表示值的大小。
点击带图案的那个按钮，选中Color选项，以及Height（3-D plot）选项和Animation选项，其他想勾的也可以勾，比如show mesh。点击plot，就进行绘图以及动画的制作。

PDE工具箱还有针对性地为一些领域的具体问题提供了解决方案，如：结构力学、静电学、电磁学、热传导等。当然，除了图形界面，也可以编写m文件求解PDE。但是，它也有很大的局限性，就是只能求解特定的PDE，且网格密度大的时候，运算量巨大。

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