一、 单一变量的曲线逼近
Matlab有一个功能强大的曲线拟合工具箱 cftool ，使用方便，能实现多种类型的线性、非线性曲线拟合。下面结合我使用的 Matlab R2007b 来简单介绍如何使用这个工具箱。
假设我们要拟合的函数形式是 y=A*x*x + B*x, 且A>0,B>0 。
1、在命令行输入数据：
》x=[110.3323 148.7328 178.064 202.8258033 224.7105 244.5711 262.908 280.0447 296.204 311.5475]；
》y=[5 10 15 20 25 30 35 40 45 50]；
2、启动曲线拟合工具箱
》cftool
3、进入曲线拟合工具箱界面“Curve Fitting tool”
（1）点击“Data”按钮，弹出“Data”窗口；
（2）利用X data和Y data的下拉菜单读入数据x,y，可修改数据集名“Data set name”，然后点击“Create data set”按钮，退出“Data”窗口，返回工具箱界面，这时会自动画出数据集的曲线图；
（3）点击“Fitting”按钮，弹出“Fitting”窗口；
（4）点击“New fit”按钮，可修改拟合项目名称“Fit name”，通过“Data set”下拉菜单选择数据集，然后通过下拉菜单“Type of fit”选择拟合曲线的类型，工具箱提供的拟合类型有：
· Custom Equations：用户自定义的函数类型
· Exponential：指数逼近，有2种类型， a*exp(b*x) 、 a*exp(b*x) + c*exp(d*x)
· Fourier：傅立叶逼近，有7种类型，基础型是 a0 + a1*cos(x*w) + b1*sin(x*w)
· Gaussian：高斯逼近，有8种类型，基础型是 a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)
· Interpolant：插值逼近，有4种类型，linear、nearest neighbor、cubic spline、shape-preserving
· Polynomial：多形式逼近，有9种类型，linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-9th degree ~
· Power：幂逼近，有2种类型，a*x^b 、a*x^b + c
· Rational：有理数逼近，分子、分母共有的类型是linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-5th degree ~；此外，分子还包括constant型
· Smoothing Spline：平滑逼近（翻译的不大恰当，不好意思）
· Sum of Sin Functions：正弦曲线逼近，有8种类型，基础型是 a1*sin(b1*x + c1)
· Weibull：只有一种，a*b*x^(b-1)*exp(-a*x^b)
选择好所需的拟合曲线类型及其子类型，并进行相关设置：
——如果是非自定义的类型，根据实际需要点击“Fit options”按钮，设置拟合算法、修改待估计参数的上下限等参数；
——如果选Custom Equations，点击“New”按钮，弹出自定义函数等式窗口，有“Linear Equations线性等式”和“General Equations构造等式”两种标签。
在本例中选Custom Equations，点击“New”按钮，选择“General Equations”标签，输入函数类型y=a*x*x + b*x，设置参数a、b的上下限，然后点击OK。
（5）类型设置完成后，点击“Apply”按钮，就可以在Results框中得到拟合结果，如下例：
同时，也会在工具箱窗口中显示拟合曲线。
这样，就完成一次曲线拟合啦，十分方便快捷。当然，如果你觉得拟合效果不好，还可以在“Fitting”窗口点击“New fit”按钮，按照步骤（4）~（5）进行一次新的拟合。
R-square 与 Adjusted R-square一个意思，通常看第一个，反映线性化拟合的好坏。
SSE 与 RMSE 是标准差 和均方差，意义也一样，反映拟合误差的好坏。
通常：SSE比R2重要，看SSE 。
R square称为方程的确定系数，0~1之间，越接近1，表明方程的变量对y的解释能力越强。
对于回归方程来说，总结了以下几个意义：
1．R square可以作为选择不同模型的标准。如果在拟合数据之前，不能确定数据到底是什么模型，那么可以对变量的不同数学形式进行拟合，然后看R square的大小，R square大的模型，说明这个模型对数据拟合的较好。
2．在数据的关系存在非线性可能情况下：
(a)不一定R square越大拟合越好，因为R square只是回归平方和占总平方和的比例。比如，在那四幅著名的图里面，R square都等于66%，并且都是线性拟合，但是他们的数据点完全不同，有些是因为特异案例的存在，致使数据拟合出来是线性的，而事实上并非如此。所以，应该在拟合之前观察散点图，然后去掉特异值。
(b)如果一个模型的R square很小，不一定代表数据之间没有关系，而很有可能是选择的模型不对，因为数据之间也许的其他的函数关系，比如对数关系或者指数关系。这意味着需要对数据作进一步的拟合。（当然，最好的方法应该是在数据拟合之前先观察散点图）。如果是线性模型，那么R square才是方程拟合优度的度量，R square越大，回归方程拟合数据越好，线性关系越强。
3．当自变量个数增加时，尽管有的自变量与y的线性关系不显著，R square也会增大。R square受自变量个数与样本规模影响。这点在上次老师上课时也从数学原理阐述过。对于这点，采用Adjusted R square进行调整。
4．当想确定方程中的每一个自变量对y的边际解释能力时，应该确定每个自变量的偏确定系数（partial coefficient of determination）。注意，偏确定系数反映的是新加入回归的变量所解释的百分比，而这百分比是以前一步回归所未能解释的部分为整体，而不是以y的总变化为整体。也就是说，x1与x2共同解释的y的贡献，已包含在x1解释的y的贡献里面。偏确定系数的意义是，用于判断自变量的重要性。但是，在遇到虚拟变量时，计算这个的意义不大。
不过，需要注意的是，cftool 工具箱只能进行单个变量的曲线拟合，即待拟合的公式中，变量只能有一个。对于混合型的曲线，例如 y = a*x + b/x ，工具箱的拟合效果并不好。